Множество действительных чисел несчетные.

Рассмотрим отрезок из действительных чисел

В этом множестве любое число записывается десятичной дробью, в которой после нуля следует любая бесконечная последовательность цифр от 0 до 9, за исключение последовательностей, начиная с нечетного элемента (0,99999…9=1)

Рассмотрим последовательность, в котором на i-ом месте стоит цифра, отличная от i-ой цифры i-ого числа и 9.

Предположим, что все действительные числа удалось занумеровать, выпишем их в столбец.

	0,000…0…
	0,010…0…
	0,1111…0…
	0,12345…
	0,121241….
…	…

0,12267 – данная последовательность не совпадает ни с одной из последовательностей, вписанных в столбец, поскольку в i-ой последовательности она отличается в i-ом знаке и поэтому не будет пронумерована.
И значит, множество действительных чисел неравномощно счетному множеству.

Вопрос 27. Функция, последовательность, их пределы (примеры бесконечно малых и больших последовательностей).

E(t) – область значений

Функция – это правило, сопоставляющее элементам множества Х ровно 1-о значение из множества У. При этом необязательно каждому значению Х какое-то значение У. А элементам для которых определено это правило образуют область определения функции. Множество образов этих элементов образуют область значений функции.

D(t) – область определения

 

Функция переводящая в натуральный ряд в множество У называется последовательностью.

Последовательность принято обозначать символом , при этом

ее можно задавать двумя способами: словесно и с помощью

графика.

 

Предел функции:

Пример: – гипербол

Функция sinxне имеет предела

Функция имеет предел в точке
тогда и только тогда, когда:

для

Предел последовательности: пределом последовательности называется число А и символ , тогда и только тогда, когда:

1) предел тогда и только тогда, когда для , , что из ;

2) предел ,

 

 

Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если

Последовательность называется бесконечно большой, если

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если

 

Вопрос 28. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности, теорема о пределе промежуточной функции.

Предел монотонной ограниченной последовательности:

Если не убывающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел который совпадает сее супремомом(sup):

 

Доказательство: рассмотрим любое сколь угодно малое Е>0,если то получим противоречие, поскольку найдется значение меньше наименьшей верхней грани последовательности следовательно, существует такое для которого
Но тогда поскольку последовательность не убывающая и для всех верно

Аналогично, можно доказать что любая невозрастающая ограниченная снизу последовательность имеет предел ее инфиниму.

Теорема о пределе промежуточной функции:

Если для и

 

Доказательство: вычтем из двойного неравенства В: , это означает что

. Следовательно для любого Е, - для некоторого и - для некоторого , то , для min(.

Теорема для промежуточной функции также справедлива, когда А, символ и также в случае –последовательности.

Воспрос 29. Свойства пределов: сумма, произведение, частное пределов.

Сумма:

Пусть Тогда

Доказательство:

Из леммы следует (функция f(x) имеет в точке предел, равный А тогда и только тогда, когда да и только тогда, когда , где ):

–бесконечно малые в точке

-есть сумма постоянных значений и бесконечно малых, следовательно, по лемме это утверждение верно.

Произведение:

Найдем предел произведения

бесконечно малая

Следовательно, - по лемме.

Частное:

Найдем предел частного где

Докажем, что , где бесконечно малая величина в точке

Найдем

Это величина является бесконечно малой, поскольку числитель – бесконечно малая величина, а знаменатель – ограниченная функция, Следовательно,

Воспрос 30. Первый замечательный предел.

 

Доказательство:

длина дуги х радиан

(площадь сегмента)

 

 

Значит (следовательно, ) – умножим на 2 и разделим на sinx:

заметим, что при поэтому по теореме о промежуточной функции (Если для и , то ).

Воспрос 31. Второй замечательный предел.

, где (для последовательностей)
–Бином Ньютона.

Используя Бином Ньютонапреобразуем

Докажем, что последовательность ограничена сверху. Для этого заметим, что в каждом из слагаемых, начиная с третьего выполняется:

Следовательно, вся сумма и следовательно, последовательность

Докажем, что последовательность возрастает. Для этого заметим, что с увеличением nрастет количество слагаемых в сумме и каждое слагаемое увеличивается. По этой причине последовательность возрастает.

По доказанной теореме об ограниченной возрастающей последовательности у последовательности

есть предел. И этот предел называют числом e.

Вопрос 32.Неопределенности.Сравнение бесконечно малых. Таблица эквивалентности.

Неопределенности могут быть:

1) Т.е. рассматриваемая функция является отношением двух функций, причем в точке x₀ и числитель, и знаменатель равны 0.

2) Т.е. рассматриваемая функция является отношением двух функций, причем в точке x₀ и числитель, и знаменатель равны ¥.

3) Т.е. рассматриваемая функция является разностью двух функций, и в точке x₀ обе эти функции становятся бесконечно большими.

4) 5) 6)

!!!НУЖНЫ ПРИМЕРЫ!!!