Понятие функции одной переменной

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу.

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении: , где - путь, - время, - параметр.

Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества, то тогда говорят, что на множестве задана функция.

При этом называется независимой переменной (или аргументом), - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения (или существования) функции, а множество - областью значений функции.

Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной, т.е. множество таких значений, при которых функция вообще имеет смысл.

Способы задания функций:

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида. Этот способ наиболее часто встречается на практике.

Например, функция задана аналитически. Не следует, однако, смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция имеет два аналитических выражения: (при ) и (при ).

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции, например, таблица логарифмов, гармонические функции и т.д.

, , .

в) Графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента, а ординаты – соответствующие им значения функции.

г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:, если - иррационально.

Основные свойства функций

1) Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если. В противном случае функция называется функцией общего вида.

Пример.

а) Функция - четная (рис.3.3 а). т.к; б) Функция - нечетная (рис.3.3 б).; в) Функция - общего вида (рис.3.3 в)..

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2) Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Пример.

1) Функция- на интервале монотонно возрастает (рис.3.4а). 2) Функция - на интервале монотонно убывает (рис.3.4 б).

3) Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке, если существует такое положительное число , что для любого . В противном случает функция называется неограниченной.

- ограничена на всей числовой оси, т.к. для любого.

4) Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .

Пример.

, период , т.к. для любых .