Теорема о единственности предела последовательности

Терема. Если последовательность имеет предел то этот предел единственный.

 

Теорема об ограниченности последовательности

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

 

Доказательство. Пусть { u_n } - сходящаяся последовательность и а ее предел. Фиксируем некоторое положительное число ε и по нему номер N такой, что ∣ u_n −а∣<ε при n≥N или, а−ε< u_n <a+ε при n≥N.

Обозначим через A наибольшее из следующих (N+1) чисел: ∣a−ε∣,∣a+ε∣,∣∣x1∣∣,∣∣x2∣∣,...,∣∣хN−1∣∣. Тогда,

очевидно, ∣ u_n ∣≤A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности { u_n }.

Теорема доказана.

 

5. Предел функции при х®а. Геометрическая иллюстрация. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Геометрическая иллюстрация. Привести примеры.

 

Предел функции в точке.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e > 0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что 0 < ïx - aï < D верно неравенствоïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде: если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.Запись предела функции в точке:

Геометрическая иллюстрация

 

Определение. Если f(x) ® A₁ при х ® а только при x < a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A₂ при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа. Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности. Записывают:

Прим.

 

6. Бесконечно большие функции при х®а и при х®¥. Геометрическая иллюстрация. Функция, ограниченная на интервале и в точке. Доказать теорему о связи функции, имеющей предел при х®а.

 

Бесконечно большие функции

Ф-ция f(x) опред в некотор окрестн точки х=а назыв бесконечно большой при х®а, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенствоïf(x)ï>M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию 0 < ïx - aï < D

(0<|x-a|< D =>ïf(x)ï>M)

 

Определение. Ф-ция f(x) назыв бесконечно большой при х®∞, если для любого числа М>0 существует такое число K>0, что для всех |х|>K, выполняется неравенствоïf(x)ï>M

K>0, (|x|>K =>ïf(x)ï>M)