Занятие 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения вероятностей

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения

F (x) = P (X< x)

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Рассмотрим свойства функции распределения.

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

.

Свойство 2. F (x) – неубывающая функция, т.е.

, если .

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b),то 1) F (x)=0 при ;

2) F (x)=1 при .

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

F (x)=0; F (x)=1.

График функции распределения непрерывной случайной величины расположен в полосе, ограниченной прямыми у =0, у =1 и изображен на рис.3.

Непрерывную случайную величину можно задать, используя кроме функции распределения F (x), функцию, называемую плотностью распределения или плотностью вероятности.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x) – первую производную от функции распределения F (x):

f (x) = .

Зная плотность распределения f (x), можно найти функцию распределения F (x) по формуле

F (x)= ,

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

или

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f (x) и прямыми x=a и x=b.

Плотность распределенияобладает свойствами

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция:

f (x) .

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

=1.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

=1.

Пример 3.1. Задана плотность распределения вероятности случайной величины Х

f (x)=

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Решение. Искомая вероятность

Пример 3.2. Найти функцию распределения по данной плотноcти распределения:

0 при ,

f (x)= 1/(b-a)при ,

0 при .

Воспользуемся формулой F (x)= . Если , f (x)=0, следовательно, F (x)=0. Если , то f (x)= 1/(b-a), следовательно, F (x)= = = .

Если x > b, то F (x)= + + = .

Итак, искомая функция распределения

0 при ,

F (x)= (x-a)/(b-a)при ,

1 при .

Пример 3.3. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью f (x), причем

f (x)=

Требуется: 1) Найти коэффициент a; 2) построить график распределения плотности у = f (x); 3) найти вероятность попадания Х в промежуток (1,2).

Решение. 1) Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке[0,3], то , откуда

или т.е. a = 2/9.

2) Графиком функции f (x) в интервале[0,3] является парабола , а вне этого интервала графиком служит сама ось абсцисс (рис. 4).

3)Вероятность попадания

случайной величины Х в про-

межуток (1,2) найдется из ра-

венства

Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х

f (x)=

Найти значение параметра a и определить вероятность попадания случайной величины на интервал (3,4).

2. Задана плотность распределения вероятности случайной величины Х: f (x)= cos x при х [0, вне этого интервала плотность распределения вероятностей равна нулю. Найти функцию распределения.

3. Случайная величина Х задана в интервале (-2,2) плотностью вероятностей f (x)=1/4; вне этого интервала f (x)=0. Найти вероятность того, что в результате трех независимых испытаний случайная величина ровно два раза попадет в интервал (1,2).

Ответы: 1. a =3/64; p (3 x 4)=0,2969. 3. р= 0,140025.