Свойства операций над событиями

Для произвольных событий непосредственно из определения следует, что

1. А W= А 4.

2. 5.

3. 6.

Поясним свойство 6. По определению разности событий это множество элементарных событий, которые входят в А и не входят в В, т.е. тех исходов, которые входят в А и в (рис.2.4.8). Докажите это с помощью диаграммы Венна. Покажем применение этого свойства на примере.

Пример 1. А – выпадение нечётного числа очков при бросании кубика. В – выпадение 1 очка. А–В – выпадение 3 или 5 очков. С другой стороны: – выпадение числа очков, больших 1. Тогда – число очков нечётно и больше 1, т.е. 3 или 5.

Упражнение. Докажите с помощью множества элементарных событий или диаграммы Венна следующие тождества:

7. 10.

8. 11.

9. 12.

Покажем, например, правильность дистрибутивного закона (12) на диаграмме Венна (рис.2.5.1, а, б). На левом рисунке горизонтальной штриховкой отмечена область, соответствующая событию АС, вертикальной штриховкой – событию ВС, косая штриховка на правом рисунке соответствует событию (А+В) С.

а) б)

 

 

Рис.2.5.1

Приведённые ниже свойства предлагаем читателю изобразить на диаграммах Венна самостоятельно.

13.

14.

15^*.

16^*.

17^*.

18^*. .

Тема: Относительная частота событий и вероятность

Относительная частота событий

Пусть проводится серия из n испытаний. Рассмотрим некоторое событие А, которое может произойти или не произойти в результате одного испытания. Абсолютной частотой события А в n испытаниях называется число испытаний, в которых событие А произошло. Обозначается k (A). Относительной частотой w(А)события А в n испытаниях называется отношение абсолютной частоты к числу испытаний:

(3.1)

Пример. Из 100 деталей, среди которых 3 бракованные, одну за другой вытаскивают и проверяют все детали. Найти абсолютную и относительную частоту события А - «появление бракованной детали».

Решение. k (A)=3; w(А)=0,03=3%.

Замечание. В другой партии таких же деталей может быть 2, 4 или 10 бракованных деталей.

Свойства относительной частоты

1.

Доказательство. Ясно, что событие А в серии из n испытаний не может появиться меньше 0 раз и больше n раз.

2. w(Æ)=0; w(W)=1.

Доказательство. Невозможное событие никогда не появляется Þ его абсолютная частота =0. Достоверное событие появляется при каждом испытании Þ его абсолютная частота равна n.

k (Æ)=0 Þ

3. Если А ₁, А ₂, …А_n попарно несовместны, то

w(А ₁ +А ₂ +…+А_n) = w(A ₁) + w(A ₂) +…+ w(A_n).

Докажем для двух событий. Если А и В несовместны (рис.3.1.1), то нужно доказать, что w(А+В) = w(А) + w(В). Действительно, событие А+В происходит тогда и только тогда, когда происходит либо А, либо В (а вместе они произойти не могут). Событие А происходит k (A) раз, событие В – k (В) раз. Событие А+В происходит k (A) + k (В) раз, т.е. абсолютная частота события А+В

k (A+В) = k (A) + k (В);

w(А+В)=w(А)+w(А), ч.т.д.

Рис.3.1.1

Пример. В урне белые, чёрные и красные шары. Вынимается по одному шару. Белый шар появился k раз, чёрный т раз. Событие «белый или чёрный шар» произошло k + т раз.