Интеграл от ФКП по кривой. Случай аналитичности подынтегральной функции: Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть L – спрямляемая кривая комплексной плоскости с началом в точке А и концом в точке В. Если существует интегральной суммы (где ) при max| |->0, то он называется интегралом функции комплексной переменной f(z) по кривой L и обозначается .

Пусть теперь L –гладкая кривая, заданная комплексным параметрическим уравнением z=z(t)=x(t)+iy(t), где t1 t t2, а f(z)=u(x,y)+iv(x,y) – непрерывная и однозначная функция, определенная на L. Тогда , . Следовательно

Переходя к max| получаем:

Или

Основные свойства интеграла:

1) Если кривую L ориентировать в обратную сторону (от В до А) то интеграл поменяет знак

2) Сумма подынтегральных функций равна сумме интегралов этих функций

3) Комплексное число помноженное на подынтегральную функцию можно вынести за знак интеграла

4) Если кривая L представлена в виде суммы двух кривых L1 и L2, то интеграл по кривой L будет равен сумме интегралов по L1 и L2

5) Если во всех точках кривой L справедливо неравенство |f(z)<M, то модуль интеграла будет меньше M*l, где l – длина кривой L.

Формула Ньютона-Лейбница

Интеграл от аналитической на односвязной области D функции не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от начальной и конечной точек этого пути.

Восстановление аналитической функции по ее вещественной (мнимой) части.

Если действительная (мнимая) часть аналитической функции является гармонической, то есть удовлетворяет уравнению Лапласа

Тогда из условия Коши-Римана можно попробовать восстановить не хватающую часть, путем дифференцирования имеющейся части по одной переменной, и последующим интегрированием по другой переменной.

Интегральная теорема Коши (в т.ч. для многосвязной области; правило обхода границы).

Теорема: если функция комплексной переменной f(z), аналитическая в односвязной области D, то интеграл от f(z) по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру L, лежащему в области D, равен нулю. .

Теорема: Пусть функция f(z) аналитическая на односвязной области D. Тогда интегралы от аналитической функции f(z) вдоль двух любых кривых, имеющих общее начало и конец, имеют равные значения.

Теорема для многосвязной области: пусть область D ограничена ориентированным кусочно-гладким контуром L. Тогда для функции f(z)аналитической на замкнутой области , справедливо равенство . Из этой теоремы получается следующая:

Теорема: пусть область D ограничена внешним контуром L и внутренними контурами L1,L2,…,Ln, которые ориентированы против часовой стрелки. Тогда для функции f(z), аналитической на замкнутой области , справедливо утверждение, что интеграл функции по контуру L равен сумме интегралов внутренних контуров.

Если при обходе границы контура область D остается слева, то такой контур называют положительно ориентированным. И наоборот.