Корреляционный анализ дискретных сигналов

Корреляционный анализ может быть применен для проверки наличия полезного сигнала на фоне присутствующих шумов и помех, а также для проверки эффективности работы цифровых фильтров. В первом случае рассчитывается нормированная корреляционная функция между фрагментом полезного сигнала и числовым рядом дискретизированного входного зашумленного сигнала. По графику корреляционной функции визуально обнаруживают присутствие искомого сигнала в зашумленном входном сигнале.

Во втором случае, с целью проверки эффективности фильтрации, сначала рассчитывается корреляционная функция полезного эталонного сигнала, представленного числовым рядом, и отфильтрованного сигнала. После чего путем применения прямого дискретного преобразования Фурье к корреляционной функции получают коррелограмму. На полученном графике строят линию критического уровня с учетом ошибки фильтрации с использованием критерия Стьюдента. Эффективность фильтрации определяют визуально: выше критического уровня должны находиться только составляющие спектральной плотности полезного сигнала.

Для большей наглядности и объективности рассчитывается выборочный коэффициент корреляции между числовыми рядами эталонного (исходного полезного) и отфильтрованного сигналов. Коэффициент корреляции может принимать значения в интервале –1…1. Отрицательные значения говорят о том, что эталонный и отфильтрованный сигналы коррелируют в противофазе, т.е. при инверсии отфильтрованного сигнала. В случае если цифровой фильтр обладает хорошей эффективностью фильтрации от помех и шумов, коэффициент корреляции принимает значения, близкие к 1 или –1. Качество разных цифровых фильтров применительно к конкретному сигналу может быть определено путем сравнения рассчитанных коэффициентов корреляции.

Расчет корреляционной функции дискретных сигналов производится следующим образом. Для дискретных сигналов Х(i) и Y(i), i = 1… N выбирается фрагмент массива Y(i), i = 1… N/2 и рассчитывается корреляционная функция

,

где – величина сдвига в дискретах.

Коррелограмму или спектр корреляционной функции получают путем применения прямого дискретного преобразования Фурье к корреляционной функции:

- действительная часть спектра

;

- мнимая часть спектра

;

- модуль спектральной плотности корреляционной функции

Частоты, соответствующие значениям спектра ,

,

где – период дискретизации входного сигнала.

Расчет коэффициента корреляции между дискретными сигналами (числовыми рядами) Х(i) и Y(i), i = 1… N производится следующим образом.

Средние значения (математические ожидания) для числовых рядов Х(i) и Y(i):

; .

Дисперсии

; .

Второй смешанный центральный момент

.

Выборочный коэффициент корреляции

.