Геометрический смысл несобственного интеграла.

Несобственные интегралы.

Собственный – это определенный интеграл, в котором существенные 2 обстоятельства: конечный отрезок [a;b] и ограниченность интегрируемой функции.

Но на практике часто бывает необходимо определить интеграл на бесконечном промежутке или проинтегрировать неограниченную функцию. (Но должна сохраняться преемственность).

Одна из таких задач: найти площадь неограниченной фигуры.

 

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).

Пусть функция f(x) определена на интервале [a;+∞) и интегрируема на любом отрезке вида [a;b] для любого b≥a, так что интеграл имеет смысл при b>a.

Определение. Если существует конечный предел

(1),

То этот предел называют несобственным интегралом от функцииf(x) на интервале [a;+∞) и обозначают .

Т.о. по определению имеем: =

Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся ( к данному пределу), в противном случае- расходящимся.

Т.о. при работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:

1) исследование вопроса о сходимости данного интеграла;

2) вычисление значения интеграла, если он сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной или бесконечной фигуры.

Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале (-∞;b]:

= (2)

Введем понятие несобственного интеграла на интервале (-∞;+∞).

Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы и сходятся. Тогда

= + (3)

При этом интеграл сходящийся. Если хотя бы один из интегралов или расходится, то не собственный интеграл называется расходящимся.

Это определение не зависит от выбора числа а.

Пример 1. I = = = +

= = 0- =

= = -0=

I= + =

Пример 2. Изучим вопрос, при каких значениях показателя р>0 существует несобственный интеграл: (a>0).

Пусть р¹1, тогда

= =

При b®¥ это выражение имеет пределом ¥, если р<1 или конечное число , если р>1.

Если р=1, то = =

При b®¥ это выражение имеет пределом ¥.

Т.о. интеграл (a>0) при р>1 сходится и имеет значение , а при р£1 – расходится.

Признаки сходимости.

Теорема 1. Пусть b – конечное число такое, что b>a. Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство (б.д.?) Возьмем конечное число В такое, что В>b (ÞB>a).

Тогда = + (4).

1) Пусть - сходится Þ существует конечный предел . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Þ - сходится.

2) Пусть - сходится Þ существует конечный предел . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Þ - сходится.

3) Пусть - расходится. Покажем, что расходится и .

Допустим противное, что интеграл - сходится. Но тогда, по пункту 2), должен сходится и интеграл . Получили противоречие.

4) Пусть - расходится. Покажем, что расходится и .

Допустим противное, что интеграл - сходится. Но тогда, по пункту 1), должен сходится и интеграл . Получили противоречие. Ч.т.д.

Теорема 2. Если f(x)³0 хотя бы для xÎ[b;+¥) (b³a), то для сходимости интеграла (а значит и интеграла ) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, что £К, для любого В (B>b).

Доказательство. Интеграл =j(В), т.е. представляет собой функцию от В, определенную в [b;+¥) и неубывающую там. Сходимость интеграла равносильна существованию конечного предела у функции j(В)= при В®+¥. Но для существования конечного предела при В®+¥ у функции j(В) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, чтобы j(В)= £К, для любого В (B>b). Ч.т.д.

Теорема 3 (1-й признак сравнения несобственных интегралов).

Пусть хотя бы для хÎ[b;+∞) (b³a) функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤g(x). Тогда:

1) из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (6)

2) из расходимости интеграла следует сходимость интеграла .

Доказательство (б.д.). Возьмем конечное число В такое, что В>b.

Тогда 0£ £ (7).

1) Пусть сходитсяÞ сходитсяÞ существует число K>0 такое, что £К "В (В>b). Но тогда из (7) следует, что £К "ВÞпо теореме 2: - сходитсяÞ - сходится.

2) Пусть - расходится. Нужно доказать, что расходится и . Допустим противное, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие. Ч.т.д.

Часто при применении этого признака подынтегральную функцию сравнивают с функцией .

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла

Сравним подынтегральную функцию f(x)= с функцией g(x)= на [1;+∞). Очевидно, что на этом промежутке < .

= = = =-(0-1)=1

Т.к. интеграл сходится, то и тоже сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл .

> =

С другой стороны, = = =2 =+∞

Следовательно, расходится и интеграл .

Теорема 4. (б.д.) (2-й признак сравнения). Пусть f(x)>0 и g(x)>0 хотя бы для хÎ[b,+¥) (b³а). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел

l= (l¹0, l¹¥).

Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать сходимость интеграла .

Функция f(x)= определена и непрерывна на промежутке [1;+¥)Þf(x) определена и непрерывна на промежутке [1,B], где В – любое число, удовлетворяющее условию B>1. Т.к. f(x)= ~ при х®+¥, то возьмем в качестве g(x)= .

Тогда = =1 (1¹0, 1¹¥).

- сходится (р= >1), следовательно и интеграл сходится.

Признак Абеля-Дирихле.

Теорема. Пусть имеется несобственный интеграл .

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна на промежутке [a,+¥) и имеет там ограниченную первообразную F(x);

2) g(x) определена на промежутке [a,+¥) и имеет там непрерывную первообразную g¢(х);

3) g(x) монотонно убывает на [a,+¥) (Þg¢(х)£0, хÎ[a,+¥));

4) =0 (Þg(х)³0, хÎ[a,+¥)).

Тогда сходится.

Пример.

Несобственные интегралы.

Собственный – это определенный интеграл, в котором существенные 2 обстоятельства: конечный отрезок [a;b] и ограниченность интегрируемой функции.

Но на практике часто бывает необходимо определить интеграл на бесконечном промежутке или проинтегрировать неограниченную функцию. (Но должна сохраняться преемственность).

Одна из таких задач: найти площадь неограниченной фигуры.

 

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).

Пусть функция f(x) определена на интервале [a;+∞) и интегрируема на любом отрезке вида [a;b] для любого b≥a, так что интеграл имеет смысл при b>a.

Определение. Если существует конечный предел

(1),

То этот предел называют несобственным интегралом от функцииf(x) на интервале [a;+∞) и обозначают .

Т.о. по определению имеем: =

Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся ( к данному пределу), в противном случае- расходящимся.

Т.о. при работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:

1) исследование вопроса о сходимости данного интеграла;

2) вычисление значения интеграла, если он сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной или бесконечной фигуры.

Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале (-∞;b]:

= (2)

Введем понятие несобственного интеграла на интервале (-∞;+∞).

Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы и сходятся. Тогда

= + (3)

При этом интеграл сходящийся. Если хотя бы один из интегралов или расходится, то не собственный интеграл называется расходящимся.

Это определение не зависит от выбора числа а.

Пример 1. I = = = +

= = 0- =

= = -0=

I= + =

Пример 2. Изучим вопрос, при каких значениях показателя р>0 существует несобственный интеграл: (a>0).

Пусть р¹1, тогда

= =

При b®¥ это выражение имеет пределом ¥, если р<1 или конечное число , если р>1.

Если р=1, то = =

При b®¥ это выражение имеет пределом ¥.

Т.о. интеграл (a>0) при р>1 сходится и имеет значение , а при р£1 – расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла.

При f(x)≥0 интеграл выражает площадь области, ограниченной кривой у=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b. Несобственный интеграл выражает площадь бесконечной области, заключенной между кривой у=f(x), осью Ох и прямой х=а. Аналогично определяет геометрический смысл интегралов и .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у= (локон Аньези) и осью Ох.

Функция непрерывна на всей числовой прямой.

Т.к. =0, то ось Ох является горизонтальной асимптотой. Следовательно, требуется найти конечную площадь бесконечной области, т.е. требуется вычислить несобственный интеграл .

Т.к. функция у= четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, следовательно,

S= =2 =2 =2 (arctg t-arctg 0)=2 =π.

Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение.

Признаки сходимости.

Теорема 1. Пусть b – конечное число такое, что b>a. Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство (б.д.?) Возьмем конечное число В такое, что В>b (ÞB>a).

Тогда = + (4).

1) Пусть - сходится Þ существует конечный предел . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Þ - сходится.

2) Пусть - сходится Þ существует конечный предел . Но тогда из (4) следует, что существует конечный предел Þ - сходится.

3) Пусть - расходится. Покажем, что расходится и .

Допустим противное, что интеграл - сходится. Но тогда, по пункту 2), должен сходится и интеграл . Получили противоречие.

4) Пусть - расходится. Покажем, что расходится и .

Допустим противное, что интеграл - сходится. Но тогда, по пункту 1), должен сходится и интеграл . Получили противоречие. Ч.т.д.

Теорема 2. Если f(x)³0 хотя бы для xÎ[b;+¥) (b³a), то для сходимости интеграла (а значит и интеграла ) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, что £К, для любого В (B>b).

Доказательство. Интеграл =j(В), т.е. представляет собой функцию от В, определенную в [b;+¥) и неубывающую там. Сходимость интеграла равносильна существованию конечного предела у функции j(В)= при В®+¥. Но для существования конечного предела при В®+¥ у функции j(В) необходимо и достаточно, чтобы существовало число K>0 такое, чтобы j(В)= £К, для любого В (B>b). Ч.т.д.

Теорема 3 (1-й признак сравнения несобственных интегралов).

Пусть хотя бы для хÎ[b;+∞) (b³a) функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию 0≤f(x)≤g(x). Тогда:

1) из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (6)

2) из расходимости интеграла следует сходимость интеграла .

Доказательство (б.д.). Возьмем конечное число В такое, что В>b.

Тогда 0£ £ (7).

1) Пусть сходитсяÞ сходитсяÞ существует число K>0 такое, что £К "В (В>b). Но тогда из (7) следует, что £К "ВÞпо теореме 2: - сходитсяÞ - сходится.

2) Пусть - расходится. Нужно доказать, что расходится и . Допустим противное, что сходится. Тогда по пункту 1) должен сходится и . Получили противоречие. Ч.т.д.

Часто при применении этого признака подынтегральную функцию сравнивают с функцией .

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла

Сравним подынтегральную функцию f(x)= с функцией g(x)= на [1;+∞). Очевидно, что на этом промежутке < .

= = = =-(0-1)=1

Т.к. интеграл сходится, то и тоже сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл .

> =

С другой стороны, = = =2 =+∞

Следовательно, расходится и интеграл .

Теорема 4. (б.д.) (2-й признак сравнения). Пусть f(x)>0 и g(x)>0 хотя бы для хÎ[b,+¥) (b³а). Пусть существует конечный, отличный от нуля предел

l= (l¹0, l¹¥).

Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать сходимость интеграла .

Функция f(x)= определена и непрерывна на промежутке [1;+¥)Þf(x) определена и непрерывна на промежутке [1,B], где В – любое число, удовлетворяющее условию B>1. Т.к. f(x)= ~ при х®+¥, то возьмем в качестве g(x)= .

Тогда = =1 (1¹0, 1¹¥).

- сходится (р= >1), следовательно и интеграл сходится.