Определение предела числовой последовательности.

Определение предела числовой последовательности.

Число A называется пределом числовойпоследовательности = f (n), если для любого, сколь угодно малого, e > 0 существует такой номер N e Îℕ, начиная с которого для всех n > N e выполняется неравенство

Определение предела функции по Гейна.

Число А называется пределом функции, при , если для любой последовательности допустимых значений аргумента сходящийся к

соответствующая последов. функции сходится к числу А, т.е.

Определение предела функции по Каши.

Число А называется пределом функции при стремящийся к , если для любого E>0 найдется зависящая от Е>0, такое что как только будет выполняться неравенство , так будет выполняться неравенство .

Теория о существовании конечного предела.

Ый замечательный предел.

Предел отношения sinк аргументу =1, при условии что аргумент стремиться к 0.

Ой замечательный предел.

Все логарифмические функции пропорциональны друг другу.

Определение непрерывности функции в точке.

Функция y=f(x) –называется непрерывной в точке , если

1) она определена в точке

Точки разрыва функции. 1ого и 2ого рода.

Если хотя бы одно из условий непрерывности не выполняется в точке , то - точка разрыва 1ого разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределах не существует или равен , то - точка разрыва 2ого разрыва.

Производная.

Производной называется предел отношения преращения функций к преращению аргумента при условии, что последний стремится к нулю.

Производная сложной функции.

Теорема 1. Если дифференциирована в точке x,а функция в соответствующей точке то сложная функция , то следующая функция имеет производную определяющую формулой:

Т.е. в начале берут производную по промежуточному аргументу u,а затем от него по независимой переменной x.

Производная функции задана параметрически.

Теорема 2. Пусть функция задана параметрически, где функции –дифференциируемы,тогда

Пример:

Пусть

=3

= 3 ;

= ;

’= -ctgt

Производные высших порядков.

Производной 2ого порядка для функции называют производную от ее производной первого порядка

Производной n-го порядка называют ее производную от n – 1ого порядка.

Исследование функции на монотонность, точки экспремула.

Исследование функции на выпуклость и вогнутость.

Функция равная y=f(x) называется выпуклой вверх на интервале [a;в], если касательная, проведенная в любой точке из интервала [a;в] лежит выше графика функции.

Функция равная y=f(x) называется выпуклой вниз на интервале [a;в], если касательная, проведенная к графику функции в любой точке [a;в] лежит ниже графика функции.

Линейная операция над векторами.

Пусть вектора заданы своими координатами

1. a+b= (

2. a-b= (

3. K = (K k

Если вектор а=b

Если вектор a

Есть условие копланарности векторов.

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Определение предела числовой последовательности.

Число A называется пределом числовойпоследовательности = f (n), если для любого, сколь угодно малого, e > 0 существует такой номер N e Îℕ, начиная с которого для всех n > N e выполняется неравенство