Обобщенная теорема Парсеваля

 

. (1.15)

 

Ортонормированность базиса и его образа

Если функции ортонормированны

 

, (1.16)

 

то их фурье-образы также ортонормированны

 

. (1.17)

 

В (1.14) полагаем и .

Интегральная теорема – прямое и обратное преобразования восстанавливают непрерывную функцию

 

,

 

. (1.20)

 

Доказательство: Из (1.2) и (1.1) с заменой порядка интегрирований

 

,

где использовано

.

 

Следовательно, для непрерывной функции

 

, . (1.20а)

 

Теорема о парах функций и

 

Если

,

то

. (1.21)

 

 

Доказательство: Из (1.1) с заменой аргумента

 

.

 

Использовано сравнение с (1.2) после замены: , .

 

Преобразование Фурье

 

, (1.1)

. (1.2)

Свертка функций

. (1.22)

 

При переходе от предыдущей формулы к последующей использованы замены аргументов под интегралом:

 

, , .

 

Возможны другие замены аргумента под интегралом.

Физический смысл свертки для линейного и стационарного преобразователя сигналов

 

Ошибка! Раздел не указан.

 

f ₁(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',

f ₂(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.

 

Выполняются:

1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;

2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при t < t';

3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя.

 

Принципам удовлетворяет свертка

 

,

где

– функция Грина – реакция преобразователяна импульсный входящий сигнал;

– функция включения;

– аппаратная функция.

Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Гринапреобразователя.

Теорема о свертке – фурье-образ свертки функций равен произведению их фурье-образов

 

. (1.24)

 

Доказательство:

 

.

 

Под интегралом сделана замена , и учтено

 

.

 

Выполняется

. (1.25)

 

Доказательство:

 

.

 

Под интегралом сделана замена .

 

Теорема о произведении – фурье-образ произведения функций равен свертке их фурье-образов

 

,

 

. (1.26)

 

Для доказательства (1.26) выполняем фурье-преобразование (1.25)

 

 

и используем интегральную теорему (1.20)

 

.

Дифференцирование

 

. (1.35)

Доказательство:

 

Используем

, (1.2)

получаем

.

 

Сравнение результата с (1.2) дает (1.35).

 

Умножение функции на

 

,

. (1.37)

Доказательство:

 

Используем

, (1.1)

получаем

.

 

Сравнение результата с (1.1) дает (1.37).

Преобразование периодических функций

Фурье-спектр функции с периодом L получается путем разложения изучаемой функции по базису гармонических функций с периодами , где Спектр периодической функции дискретный.

 

Базисы периодических функций

При используем

,

где учтено

,

 

Получаем базисы

 

, , ;

 

: , , ;

 

: , , ;

 

Вещественные периодические базисы

, ;

 

 

, ,

Ортонормированность базисов

 

 

, :

 

.

 

, :

 

, (1.43)

, .

 

, ,

. (1.45)

 

 

, ,

. (1.46)

 

Преобразование Фурье комплексной функции с периодом L

 

Используем ортонормированный базис

 

.

 

Разложение по базису является рядом Фурье

. (1.48)

 

Ищем коэффициенты , выполняя

 

.

Учитывая (1.43)

 

и переобозначая , получаем

 

. (1.49)

Дискретный спектр

. (1.47)

Подстановка (1.47)

. (1.2)

дает (1.48)

.

Дифференцирование

 

Выполняем и получаем, что, если

,

то

. (1.50)