Дельта-функция в двумерном пространстве

Декартовы координаты: , .

 

Учитываем независимость x и y, записываем двумерную δ-функцию

 

. (2.39)

 

Выполняется нормировка

 

.

 

Интегральное представление

 

, (2.40)

где учтено

, ,

 

.

 

Переходим к полярным координатам.

 

Полярные координаты:

 

 

, ,

 

,

 

якобиан преобразования

.

Полагаем

.

 

Ищем , используя условие нормировки

 

.

Находим

, , .

В результате

, (2.41)

, .

 

В случае центральной симметрии , тогда

 

.

Нормировка

,

с учетом

дает

,

 

. (2.42)

Дельта-функция в трехмерном пространстве

Декартовы координаты: , .

 

. (2.44)

 

Интегральное представление

. (2.45)

Сферические координаты: ,

 

, , ,

 

,

 

,

 

,

 

, (2.46)

 

, , , .

 

В случае центральной симметрии , тогда .

Нормировка

,

с учетом

, ,

дает

,

 

. (2.50)

 

Гребенчатая функция

 

(2.53)

 

Моделирует неограниченную кристаллическую решетку, антенну и другие периодические структуры.

При Фурье-преобразовании гребенчатая функция переходит в гребенчатую функцию.

Из (2.53)

,

с учетом

(2.8)

получаем

. (2.54)

 

 

Свойства

 

Функция четная

,

периодическая

,

 

период . Фильтрующее свойство дельта-функций дает

 

. (2.55)

 

Фурье-образ

 

Для периодической функции с периодом L Фурье-образ выражается через коэффициенты Фурье

 

, (1.47)

 

, (1.49)

 

Для гребенчатой функции с периодом получаем

 

,

 

где учтено фильтрующее свойство дельта-функции. Из (1.47) находим Фурье-образ

. (2.56)

 

Фурье-образом гребенчатой функции является гребенчатая функция.

Из (2.56) по теореме Фурье о масштабном преобразовании аргумента получаем

. (2.59)

 

Увеличение периода гребенчатой функции () уменьшает период и увеличивает амплитуду ее спектра.

 

 

Ряд Фурье

Используем

, (1.48)

 

.

 

Для , получаем

 

. (2.57)

 

Формула суммирования Пуассона

 

. (2.60)

 

Сумма значений функции в целочисленных точках равна сумме значений ее спектра в целочисленных точках, если ряды существуют.

 

Доказательство:

Выражение

(2.57)

подставляем в интеграл и с учетом фильтрующего свойства дельта-функции получаем

 

.

 

Обобщенная формула суммирования Пуассона

 

, (2.61)

 

Доказательство:

Выражение

, (2.57)

подставляем в интеграл . Для левой и правой частей (2.57) получаем левую и правую части (2.61)

 

,

 

.

 

Аналогично доказывается обратная формула суммирования

 

. (2.61а)

 

Произведение гребенчатой и гладкой функций

 

 

Подставляем гребенчатую функцию с периодом a

 

, (2.54)

 

используем фильтрующее свойство дельта-функции

 

, (2.3)

получаем

. (2.67)

 

Произведение гребенчатой и гладкой функций дает модулированную гребенчатую функцию.

 

 

Фурье-образ

 

Используем (2.67) и фильтрующее свойство дельта-функции

 

. (2.68)

 

В формуле суммирования Пуассона (2.61а)

 

 

заменяем , и находим

. (2.61б)

 

Сравнение (2.68) и (2.61б) дает

 

. (2.68)

 

Спектр произведения гребенчатой функции с периодом a и гладкой функции является суммой спектров гладкой функции, сдвигаемых на целое число шагов .

Для ограниченно определенной функции спектр имеет ширину, гораздо меньшую . Тогда для спектр является периодическим повторением спектра с периодом .