Перестановочное соотношение операторов (коммутатор)

СФЕРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

 

,

 

; ; ;

 

Описывает угловую зависимость состояния объекта в сферической системе координат .

 

Используется для описания вращательного движения, в теории излучения и рассеяния волн и частиц, в теории потенциала.

 

Определяется как собственная функция оператора момента импульса и оператора Лапласа.

 

Число l связано с модулем момента импульса, m – с его проекцией на ось z. Проекция вектора не может быть больше его модуля, поэтому , для проекции возможны положительные и отрицательные значения.

 

Набор образует полный ортонормированный базис на единичной сфере.

 

Момент импульса ЧАСТИЦЫ

 

В классической механике

,

– радиус-вектор частицы, – импульс. Направление L определяется правилом правого винта.

 

 

В декартовых координатах

,

 

,

 

,

 

.

 

Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке

.

 

В квантовой механике величины заменяются операторами

 

, ,

 

.

 

Оператор градиента

 

, (7.1)

 

n _k – единичные орты, направленные в сторону перемещения точки при бесконечно малом увеличении соответствующего аргумента.

 

Операторы момента импульса

 

,

 

,

 

,

 

,

. (7.2)

 

Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке

 

.

 

Сферические координаты

 

 

 

, , . (7.3)

 

 

Оператор градиента

, (П.8.1)

 

– единичные орты. Операторы момента импульса

 

, (7.4)

 

. (7.5)

 

Оператор Лапласа

 

Выражается через квадрат момента импульса

 

, (7.6)

 

определяет кинетическую энергию частицы.

 

Радиальная часть оператора Лапласа

 

. (7.7)

 

Перестановочное соотношение операторов (коммутатор)

 

.

 

Предполагается, что правее каждого слагаемого находится функция, на которую действуют операторы:

 

.

Выполняются

,

.

 

Если операторы коммутируют, т. е. их можно переставлять , то соответствующие им физические величины измеримы одновременно с неограниченной точностью. Если коммутатор операторов не равен нулю, то чем точнее измеряется одна величина, тем больше неустранимая погрешность другой величины.

 

Для операторов момента импульса

 

,

 

,

 

,

 

. (7.8)

 

Определенные значения имеют одновременно квадрат модуля момента импульса и одна из его проекций .

Повышающий и понижающий операторы

 

,

 

. (7.9)

 

Действуя на сферическую функцию , операторы изменяют на единицу число m, т. е. проекцию вектора момента импульса на ось z.

Выполняются

,

 

, (7.11)

 

. (7.12)

Доказательство (7.12):

 

,

где использовано

. (7.8)

УРАВНЕНИЕ СферическОЙ функциИ

является собственной функцией оператора квадрата момента импульса

, (7.13)

 

где – собственное значение оператора . Если объект находится в состоянии , то квадрат момента импульса равен .

С учетом

, (7.5)

 

уравнение для сферической функции

 

. (7.14)

 

Ищем решение уравнения и собственное значение λ.

 

Разделение переменных

 

Слагаемые (7.14) имеют производные от разных аргументов, поэтому аргументы решения разделяются

 

.

Подставляем в уравнение, умноженное слева на , и группируем слагаемые по их аргументам

 

.

 

Левая и правая стороны зависят от разных аргументов, поэтому они равны постоянной m. В результате получаем независимые уравнения

 

, (7.15)

 

. (7.16)

 

Решение уравнения (7.15)

 

1. Уравнение (7.15) является уравнением Гельмгольца и имеет решение

 

.

 

2. Однозначность решения накладывает условие периодичности по углу

 

.

Получаем

,

откуда

, ,

 

– магнитное число,

 

.

 

3. Квадрат модуля функции состояния является плотностью вероятности состояния и удовлетворяет условию нормировки

 

,

тогда

,

 

. (7.17)

На основании

(1.43)

 

выполняется условие ортонормированности

 

. (7.18)

 

4. Для оператора проекции момента импульса

 

, (7.4)

выполняется

,

 

. (7.19)

 

Следовательно, и – собственные функции оператора проекции момента импульса на ось z с собственным значением . В состоянии, описываемом функцией , измерение проекции момента импульса на ось z дает

.

Значение l в уравнении

1. Оператором

(7.11)

 

действуем на и используем

, (7.19)

получаем

 

.

 

Операторы переводят состояние с собственным значением m в состояния с собственными значениями , т. е. – повышающий оператор, – понижающий оператор.

 

2. Проекция вектора не превышает его модуль. Если

 

,

 

то нет состояний с , тогда действие повышающего оператора на состояние с максимальной проекцией

 

.

 

3. Действуем на оператором

. (7.12)

 

Используем

(7.19)

и

, (7.13)

тогда

и находим

.

 

4. В результате

,

 

, (7.20)

где

– магнитное число;

– орбитальное число;

– проекция орбитального момента на ось z;

– модуль орбитального момента.

 

Сферическая функция

 

В результате

, (7.24)

 

. (7.24а)

Из

(6.120)

 

следует соотношение между состояниями с противоположными проекциями

. (7.25)

Используем

, (1.43)

 

, (6.123)

 

получаем условие ортонормированности

 

. (7.27)

 

Инверсия координат

 

Заменяем

,

 

 

 

,

 

,

 

, ,

 

,

 

,

получаем

. (7.28)

 

Четность состояния, описываемого сферической функцией, совпадает с четностью орбитального числа l.

Частные выражения

 

Используем

, (7.24)

и находим

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

. (7.29)

 

При нет зависимости от углов – центрально-симметричное распределение;

При нет зависимости от угла φ – осесимметричное распределение.

Плотность вероятности

Рекуррентные соотношения

 

1. Соотношение

. (6.127)

умножаем на

,

учитываем

(7.24)

и получаем

. (7.32)

 

2. В (6.125) заменяем , тогда

 

.

Умножаем на

и находим

. (7.33)

 

3. В (7.33) заменяем , комплексно сопрягаем, используем

 

, (7.25)

 

,

получаем

. (7.34)

 

Первое слагаемое

 

При изменении радиуса

 

, , ,

тогда

.

 

Второе слагаемое

 

При изменении угла θ, аналогично углу φ в полярных координатах:

 

, , ,

тогда

.

 

 

Третье слагаемое

 

При изменении угла φ используем

 

, , ,

находим

 

.

 

В результате оператор Лапласа в сферических координатах

 

. (П.8.3)

 

СФЕРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

 

,

 

; ; ;

 

Описывает угловую зависимость состояния объекта в сферической системе координат .

 

Используется для описания вращательного движения, в теории излучения и рассеяния волн и частиц, в теории потенциала.

 

Определяется как собственная функция оператора момента импульса и оператора Лапласа.

 

Число l связано с модулем момента импульса, m – с его проекцией на ось z. Проекция вектора не может быть больше его модуля, поэтому , для проекции возможны положительные и отрицательные значения.

 

Набор образует полный ортонормированный базис на единичной сфере.

 

Момент импульса ЧАСТИЦЫ

 

В классической механике

,

– радиус-вектор частицы, – импульс. Направление L определяется правилом правого винта.

 

 

В декартовых координатах

,

 

,

 

,

 

.

 

Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке

.

 

В квантовой механике величины заменяются операторами

 

, ,

 

.

 

Оператор градиента

 

, (7.1)

 

n _k – единичные орты, направленные в сторону перемещения точки при бесконечно малом увеличении соответствующего аргумента.

 

Операторы момента импульса

 

,

 

,

 

,

 

,

. (7.2)

 

Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке

 

.

 

Сферические координаты

 

 

 

, , . (7.3)

 

 

Оператор градиента

, (П.8.1)

 

– единичные орты. Операторы момента импульса

 

, (7.4)

 

. (7.5)

 

Оператор Лапласа

 

Выражается через квадрат момента импульса

 

, (7.6)

 

определяет кинетическую энергию частицы.

 

Радиальная часть оператора Лапласа

 

. (7.7)

 

Перестановочное соотношение операторов (коммутатор)

 

.

 

Предполагается, что правее каждого слагаемого находится функция, на которую действуют операторы:

 

.

Выполняются

,

.

 

Если операторы коммутируют, т. е. их можно переставлять , то соответствующие им физические величины измеримы одновременно с неограниченной точностью. Если коммутатор операторов не равен нулю, то чем точнее измеряется одна величина, тем больше неустранимая погрешность другой величины.

 

Для операторов момента импульса

 

,

 

,

 

,

 

. (7.8)

 

Определенные значения имеют одновременно квадрат модуля момента импульса и одна из его проекций .