Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет след.трем условиям: 1)определена в точке (т.е. существует f()); 2) имеет конечный предел функции при ;3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Св-ва функций, непрерывных на отрезке:

1) Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

2) Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М.

3) Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что f()=0/

7. Производная функции и дифференциал.

Производной функции у=f(x) наз.предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю(если этот предел существует): .

Нахождение производной функции наз. Дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция наз. Дифференцируемой в этой точке.

Если функция у=f(x) дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна. (непрерывность функции-необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости функции.)

Дифференциалом функции наз.Главная, линейная относительно часть приращения функции, равная . Dy=dx=

Dy= .

Дифференциал равен приращению ординаты касательной в данной точке, когда х получает приращение .

Св-ва дифференциала: 1)d(cf)=cdf, c=const. D(cf)=

2)d(f

3)d(f

4)d(f/ .

8. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производной n-ого порядка наз.производная от производной (n-1)-ого порядка. Обозначение: и т.п. Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры.

Дифф.Высш.порядков.

Геометрический и физический смысл производной и дифференциала. Приложения производной в экономических расчетах. (для экономики)

10. Правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функций.

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы:

1) (u±v) =u/±v/,

2) (u·v)/=u/v+v/u,

3)

Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точке производную не равную нулю, то обратная функция x=φ(y) имеет в соответствующей точке производную, которая вычисляется по формуле: φ/(y0)=1f/(x0).

Доказательство y/=limΔx→0ΔxΔy,ϕ/(x0)=limΔy→0ΔyΔx=limΔy→01ΔxΔy=∣∣∣limΔx→0Δy=0∣∣∣=1limΔx→0ΔxΔy=1f/(x0).

Теорема Если функция x=φ(t) имеет производную в точке t0, а функция y=f(x) имеет производную в точкеx0=φ(t0), то сложная функция y(t)=f(φ(t)) имеет производную в точке t0 и справедлива формула: y/(t0)=f/(x0)·ϕ/(t0).