Теорема 2.49 (Второе правило исследования стационарных точек).

Пусть функция f(x) имеет на (a,b) вторую производную f’ ’ (x), непрерывную в стационарной

точке c ∈ (a, b).

Если f’ ’ (c) > 0, то f(x) имеет в точке c локальный минимум.

Если f’’ ’ (c) < 0, то f(x) имеет в точке c локальный максимум.

Теорема 2.50 (Третье правило исследования стационарных точек).

Пусть функция f(x) имеет на (a,b) производную f(n)(x), непрерывную в точке c ∈ (a,b), и

Если число n нечетное, то в точке c экстремума нет.

Если число n четное, то в точке c экстремума есть, причем, если f⁽ⁿ⁾(c) > 0, то в точке c локальный минимум, а если f(n)(c) < 0, то локальный максимум.

Исследование функций одной переменной. Направление выпуклости, точки перегиба, асимптоты.

Пусть y=f(x) определена и непрерывна на (а,в). Если на интервале (а,в) график ф-ции расположен выше секущей, проходящей через точка у(а) и у(в), то говорят, что на интервале (а,в) ф-ция y=f(x) выпукла вверх.

Если же график ф-ции расположен ниже секущей, то говорят, что на интервале (а,в) ф-ция y=f(x) выпукла вниз.

Если ф-ция y=f(x) определяется в точке х0 и при переходе через эту точку ф-ция y=f(x) меняет направление выпуклости, то говорят, что х0 – точка перегиба.

Асимптоты

Наклонные асимптоты.

Прямую y = kx+b называют правосторонней наклонной асимптотой функции f(x), если f(x) = kx+b+λ(х) при x→+∞.

Прямую y = kx + b называют левосторонней наклонной асимптотой функции f(x), если f(x) = kx+b+λ(х) при x→−∞.

Вертикальные асимптоты.

Пусть функция f(x) непрерывна на (a,c) и существует левосторонний предел f(c − 0), равный +∞ или −∞. Тогда прямую x = c называют левосторонней вертикальной асимптотой. Аналогично, если f(x) непрерывна на (c,b) и существует левосторонний предел f(c + 0), равный +∞ или −∞, то прямую x=c называют правосторонней вертикальной асимптотой.

 

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на множестве X, если F’(x) = f(x) для любого x ∈ X.

Неопределенный интеграл – это множество первообразных. где F(x) - одна из первообразных, C - произвольная постоянная.

Линейностью интеграла называют свойство, выраженное формулой

Таблица первообразных

 

Замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирования по частям.

Внесение множителя под знак дифференциала. Пусть v = v(x) дифференцируемая на X функция, такая, что f(x) представима в виде Тогда

Линейная подстановка. Частным случаем введения множителя под знак дифференциала является линейная подстановка. а=/0

Вынесение множителя из-под знака дифференциала. Пусть функция x = x(t) дифференцируема на промежутке T, x’(t) =/ 0, и значения x заполняют X. Тогда

Интегрирование по частям.

Теорема. Пусть u(x) и v(x) - дифференцируемые функции, определенные на X. Если имеет первообразную на X, то и также имеет первообразную на X, причем

Формулу называют формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Коротко