Системы случайных величин. Функция распределения. Совместная плотность распределения.

Системоой случайнвх величин (случайным вектором, многомерной случайной величиной) называется любая упорядоченная совокупность случайных величин Х ={ X₁, …, X_n }.

_{Случайные величины{ X1, …, Xn }, входящие в систему могут быть как непрерывными, так и дискретными. Для наглядности рассмотрения пользуются геометрической интерпретацией; так систему двух случайных величин { X,Y } можно представить случайной точкой на плоскости с координатами X и Y, или случайным вектором, направленным из начала координат в точку (X,Y).}

Свойства случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин, входящих в систему и необходимы средства для описания характеристик систем случайных величин.

Функцией распределения (или совместной функцией распределения) системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств X₁ < x₁, …, X_n < x_n:

. (10.1)

Для случая двумерной случайной величины:

(10.2)

Геометрически функция распределения F (x, y) это вероятность попадания случайной точки (Х,У) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х,у), лежащей левее и ниже ее (рис. 10.1).

Свойства функции распределения.

1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

.

Доказательство этого свойства вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность есть неотрицательное число, не превышающее 1.

2. Функция распределения F (x, y) есть неубывающая функция по каждому из аргументов т.е

х₁ < х₂ = > F (х₁,у) £ F (х₂, у)

у₁ < у₂ = > F (х, у₁) £ F (х,у₂)

Доказательство этого свойства вытекает из того, что при увеличении какого-нибудь из аргументов (x, y) квадрант, заштрихованный на рис. 10.1, увеличивается; следовательно, вероятность попадания в него случайной точки (X,Y) уменьшаться не может.

3. Если хотя бы один из аргументов функции распределения обращается в -∞, то функция распределения равна 0:

(10.3)

Доказательство. По определению

Событие невозможное событие, т.к. невозможным является событие событие; тогда

4. Если оба аргумента функции распределения F (x, y) равны +¥, то функция распределения равны 1.

Доказательство следует из определения функции распределения системы случайных величин:

. (10.4)

5. Если один из аргументов обращается в +∞, то функция распределения F (x, y) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

. (10.5)

Доказательство. По определению функции распределения:

Событие (Y <+∞) является достоверным событием. Тогда

Точно так же доказывается, что

6. Вероятность попадания в прямоугольную область

P (a £ X £ b; d £ U £ g)= F (b, g)- F (b, d)- F (a, g)+ F (a,d). (10.6)

Совместной плотностью вероятности или плотностью совместного распределения называется функция

(10.11)

Плотность f (x,y) обладает следующими свойствами:

1. f(x,y)≥0;

2.

Геометрически совместная плотность f (x,y) системы двух случайных величин представляет собой некоторую поверхность распределения.

Аналогично вводится понятие элемента вероятности: .

Элемент вероятности с точностью до бесконечно малых величин равен вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник ΔR _xy, примыкающий к точке (x,y), с размерами Δ x, Δ y.

Аналогично тому, как было рассмотрено в случае одномерной случайной величины, определим вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D:

(10.12)

Функция распределения системы (X, Y) через совместную плотность определяется так:

. (10.13)

Совместная плотность распределения системы случайных величин (X, Y) позволяет вычислить одномерные законы распределения случайных величин X и Y:

; . (10.14)

Одномерные плотности распределения составляющих системы случайных величин называют маргинальными плотностями распределения.

Условные плотности для непрерывных составляющих X и Y определяются так

f (x / y) = f (x, y)/ f _у(y), f _у (y)¹ 0; f (y / x) = f (x, y)/ f _х(x), f _х (x)¹ 0. (10.17)

;

.

Условные плотности обладают всеми свойствами обычных плотностей:

1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна

2. Условие нормировки