Кинетическая энергия механической системы

Кинетической энергией механической системыназывается сумма кинетических энергий всех точек этой системы:

T = ∑m_kv_k²/2,

где m_k и v_k - масса и скорость k -й материальной точки, принадлежащей данной системе.

На основании теоремы Кёнига кинетическая энергия произвольной механической системы определяется по формуле

T = Mv_C²/2 + ∑ m_kv_kr²/2

где M - масса всей системы;
v_C - скорость центра масс системы;
m_k - масса k -й точки системы;
v_kr - относительная скорость k -й точки при движении её вокруг центра масс (т.е. v_k=v_C +v_kr).

Из этой формулы можно получить следующие частные случаи для твёрдого тела:

1. при поступательном движении тела

v_k= v_C,v_kr=0,

T = mv_C²/2;

1. при вращении тела вокруг оси, проходящей через его центр масс,

v_C=0,v_kr= ω × r_k,

T = ∑ m_kv_kr²/2 = Jω²/2,

где J - момент инерции тела относительно оси, проходящей в данный момент времени через центр масс;
ω - угловая скорость вращения тела;

1. в случае произвольного движения тела (например при плоскопараллельном движении)

T = mv_C²/2 + Jω²/2.

Теорема об изменении кинетической энергии точки и системы

Рассмотрим движение произвольной точки системы из первого положения во второе:

где F_k^e - внешние силы, действующие на систему,
F_kⁱ - внутренние силы системы.

Умножим обе части уравнения скалярно на дифференциал радиуса-вектора dr_k тогда

или dT_k = dA_k^e + dA_kⁱ, (1.1)

где T_k - кинетическая энергия точки;

далее получим

Просуммируем по всем точкам системы

То есть, изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на систему, на том же перемещении.

Если в формуле (1.1) обе части уравнения разделить на dt, то можно записать теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на систему.

dT_k / dt = dA_k^e / dt + dA_kⁱ / dt
dT_k / dt = N_k^e + N_kⁱ.

Суммируя по всем точкам системы, получим

dT / dt = ∑N_k^e + ∑N_kⁱ.

Принцип Даламбера для механической системы и твердого тела. Приведение сил инерции частиц твердого тела к центру при поступательном, вращательном около неподвижной оси и плоском движении тела.

Принцип Даламбера

Для несвободной материальной точки из второго закона Ньютона следует формула:

ma=F+R,

где R - реакция связи.

Если принять Ф=-ma, то получится выражение

Ф+F+R=0, (1),

в котором все силы уравновешиваются. Оно и выражает принцип Даламбера для точки, который читается так: в любой момент времени для движущейся точки сумма активных сил, реакций связей и силы инерции равна нолю.

Для механической системы, состоящей из n точек, имеется n таких выражений, складывая которые получаем:

∑Ф_i + ∑F_i + ∑R_i=0

Обозначаем:

∑F_i=F^E - главный вектор внешних сил (∑F_i^y=F^y=0);

∑R_i=0 - главный вектор реакций связей;

∑Ф_i=-Ma_c=Ф - главный вектор сил инерции;

т.е.

∑F_i^Е + ∑R_i + ∑Ф_i=0 (2).

В разделе «Статика» условием равновесия твердого тела являлось равенство нолю главного вектора и главного момента действующих сил. Воспользовавшись теоремой Вариньона о моменте равнодействующей, получаем:

∑r_i × F_i + ∑r_i × R_i + ∑r_i × Ф_i=0 (3)

примем обозначения:

∑r_i×F_i=M₀^F - главный момент внешних сил;

∑r_i×F_i^y=M₀^y=0 - главный момент внутренних сил;

∑r_i×R_i=M₀^R - главный момент реакции связей;

∑r_i×Ф_i=M₀^Ф - главный момент сил инерции.

Присоединяя к формуле (2) формулу (3) с учетом приведенных обозначений получим принцип Даламбера для механической системы:

∑F_i^Е + ∑R_i + ∑Ф_i=0

M₀^F + M₀^R + M₀^Ф=0 (4)

Если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на неё внешних и внутренних сил, и реакций связей присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики.

То есть для задач динамики пишутся уравнения статики, что иногда упрощает соответствующие расчеты.