Условное математическое ожидание

Определение 1. Условным математическим ожиданием непрерывной СВ X при условии, что непрерывная СВ Y приняла значение y, называется в случае абсолютной сходимости интеграла, функция y:

M[ X | y ]

Δ =

+∞ ∫ -∞

xfX (x | y) d x.

 

Замечание 1. В случае дискретных СВ X и Y условное МО СВ X при условии, что Y = y_j, j = 0, m, определяется формулой

M[ X | yj ]

Δ =

n ∑ i =0

xi

pij pj

, j = 0, m,

где

pij

Δ =

P{ X = xi, Y = yj }, pj

Δ =

P{ Y = yj }.

Определение 2. Условное математическое ожидание M [ X | y ] СВ X как функция параметра y  R ¹ называется регрессией X на y. График функции x = M [ X | y ] называется кривой регрессии X на y. Аналогично определяется условное МО СВ

при условии, что Y = y. Например, для непрерывных X и Y:

M[ φ (x)| y ]

Δ =

+∞ ∫ -∞

φ (x) fX (x | y) d x.

M[φ(Y)X|y]

=

+∞ ∫ -∞

φ(y)xfX(x|y) dx = φ(y)M[X|y].

Z

Δ =

φ (x)

M[ X | y ]

Δ =

+∞ ∫ -∞

xfX (x | y) d x

5)f(x|y) =

+∞ ∫ -∞

xf (x) d x

Δ =

M[ X ].

С в о й с т в а M[X | y]: 1) M[ φ (Y)| y ] = φ (y), где φ (y) -- некоторая функция.2) M[ φ (Y) X | y ] = φ (y)M[ X | y ]. Действительно, например, в случае непрерывных СВ X и Y имеем 3) M[ X + φ (Y)| y ] = M[ X | y ] + φ (y). Это свойство доказывается аналогично свойству 2)M[X|y]. 4) M[ X | y ] = M[ X ], если X и Y -- независимы. Пусть, например, СВ X и Y -- непрерывны, тогда

5) M [ X ] = M [ M [ X | Y ]], т.е. справедлива формула полного математического ожидания. Пусть СВ X и Y непрерывны, тогда

M[ X ]

Δ =

+∞ ∫ -∞

xfX (x) d x

6)f(x,y) =

+∞ ∫ -∞

x (

+∞ ∫ -∞

f (x, y) d y) d x

Л8.Р2.З2 =

 

 

=	+∞ ∫ -∞	x (	+∞ ∫ -∞	fY (y) fX (x | y) d y) d x =	+∞ ∫ -∞	fY (y)(	+∞ ∫ -∞	xfX (x | y) d x) d y =

Ковариация

 

=

+∞ ∫ -∞

fY (y)M[ X | y ] d y = M[M[ X | Y ]].

 

Если между случайными величинами и существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация . Ковариацию вычисляют по формулам

Если случайные величины и независимы, то .

Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация — нулевая!

Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Интересно отметить, что и .

Кроме того, важны следующие свойства ковариации:

;

;

.

 

 

Корреляция

Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений.

Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется коэффициент корреляции .

Этот коэффициент обладает следующими свойствами:

он безразмерен;его модуль не превосходит единицы, т.е. ;если и независимы, то (обратное, вообще говоря неверно!);

если , то случайные величины и связаны функциональной зависимостью вида , где и — некоторые числовые коэффициенты;

;

 

Корреляционным моментом СВ x и h называется мат. ожидание произведения отклонений этих СВ. mxh=М((x—М(x))*(h—М(h)))

Для вычисления корреляционного момента может быть использована формула:

mxh=М(x*h)—М(x)*М(h) Доказательство: По определению mxh=М((x—М(x))*(h—М(h))) По свойству мат. ожидания

mxh=М(xh—М(h)—hМ(x)+М(x)*М(h))=М(xh)—М(h)*М(x)—М(x)*М(h)+М(x)*М(h)=М(xh)—М(x)*(h)

Предполагая, что x и h независимые СВ, тогда mxh=М(xh)—М(x)*М(h)=М(x)*М(h)—М(x)*М(h)=0; mxh=0. Можно доказать, что если корреляционный момент=0, то СВ могут быть как зависимыми, так и независимыми. Если mxh не равен 0, то СВ x и h зависимы. Если СВ x и h зависимы, то корреляционный момент может быть равным 0 и не равным 0. Можно показать, что корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между составляющими x и h. При этом корреляционный момент зависит от размерности самих СВ. Чтобы сделать характеристику линейной связи x и h независимой от размерностей СВ x и h, вводится коэффициент корреляции:

Кxh=mxh/s(x)*s(h) Коэффициент корреляции не зависит от разностей СВ x и h и только показывает степень линейной зависимости между x и h, обусловленную только вероятностными свойствами x и h. Коэффициент корреляции определяет наклон прямой на графике в системе координат (x,h) Свойства коэффициента корреляции.

1. -1<=Кxh<=1

Если Кxh =±1, то линейная зависимость между x и h и они не СВ.

2. Кxh>0, то с ростом одной составляющей, вторая также в среднем растет.

Кxh<0, то с убыванием одной составляющей, вторая в среднем убывает.

3. D(x±h)=D(x)+D(h)±2mxh

Доказательство.

D(x±h)=M((x±h)2)—M2(x±h)=M(x2±2xh+h2)—(M(x)±M(h))2=M(x2)±2M(xh)+M(h2)—+M2(x)+2M(x)*M(h)—M2(h)=D(x)+D(h)±2(M(xh))—M(x)*M(h)=D(x)+D(h)±2mxh