Общий случай расчета цепи II порядка

Проиллюстрируем рассмотренную выше методику на примере цепи второго порядка.

Пусть дана цепь (рис. 4.20) с параметрами Е = 30 В, J = 2 А, R ₁ = 20 Ом, R ₂ = 10 Ом, С = 100 мкФ, L = 50 мГн.

Требуется определить закон изменения тока i ₁(t) после коммутации.

1. Правила коммутации:

i_L (0^-) = i_L (0⁺) = 0 А,

u_C (0^-) = u_C (0⁺) = JR ₂ = 20 B.

2. Составление характери­стического уравнения цепи. С помощью совместного решения однородной системы дифференциальных уравнений. Составляем систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа:

Методом исключения получаем из данной системы дифференциальное неоднородное уравнение

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Подставим значения параметров цепи:

p ² + 700 p + 300000 = 0.

Корни характеристического уравнения

p ₁ = – 350 + j 421,308, p ₂ = – 350 – j421,308

являются комплексными сопряженными, следовательно, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.

3. Определение принужденной составляющей. Рассматриваемая цепь в принужденном режиме имеет вид (рис. 4.21)

 

4. Определение свободной составляющей. Для цепей, характеристические числа которых имеют комплексные сопряженные значения, свободная составляющая определяется в виде

,

где d – декремент затухания,

w – частота свободных колебаний определяются через корни характеристического уравнения .

Таким образом, в выражении i _1св необходимо определить постоянные интегрирования А ₁ и А ₂. Вычисление их ведется с помощью системы уравнений, составленных для момента t = 0⁺:

4.1. Определение значений и с использованием системы уравнений Кирхгофа. В данном случае составляется система уравнений Кирхгофа. Методом исключения выражается значение тока через известные значения u_C (0⁺) и i ₂(0⁺):

.

Дифференцируя выражение для i ₁(t), получим

.

Произведя необходимые преобразования и подстановки в системе уравнений Кирхгофа, получим

.

Подставив соответствующие значения u_C и i_L в момент t = 0⁺, рассчитаем

A/с.

4.2. Определение i ₁(0⁺) и с использованием резистивных схем замещения в момент t = 0⁺. При построении схемы замещения в 0⁺:

–источники с ЭДС или задающим током, номиналы резисторов оставить неизменными;

– емкости и индуктивности же заменить в соответствии со следующим правилом: емкости с нулевыми начальными условиями () заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями () заменяются противодействующими источниками ЭДС с ;

– ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия (), размыкаются, в случае ненулевых начальных условий () индуктивности заменяют на содействующие источники тока с .

Схема замещения в 0⁺ для величин токов и напряжений изображена на рис. 4.22.

По II закону Кирхгофа получим

.

Для построения схемы замещения в (0⁺) для производных токов и напряжений необходимо определить начальные значения:

Таким образом, следует определить i_C (0⁺) и u_L (0⁺) с помощью уже полученной схемы замещения:

а) для определения u_L (0⁺) составим уравнение по II закону Кирхгофа:

,

подставив значения, получим u_L (0⁺) = 0, следовательно, .

б) i_C (0⁺) = i ₁(0⁺) = 0,5 A, следовательно, = 5000 B/с.

При построении схемы замещения в 0⁺ для производных следует:

– источники заменить на аналогичные источники с ЭДС или задающим током, равным соответственно производной от данных в задании;

– номиналы резисторов оставить неизменными;

– емкости и индуктивности же заменить в соответствии со следующим правилом: емкости с нулевыми начальными условиями () заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями () заменяются противодействующими источниками ЭДС с ;

– ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия (), размыкаются, в случае ненулевых начальных условий () индуктивности заменяют на содействующие источники тока с .

Таким образом, осуществляется операция дифференцирования, адекватная дифференцированию системы уравнений Кирхгофа.

В нашем случае, когда в цепи действуют источники постоянных воздействий, источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками (т.к. ), а ветви с источниками тока размыкаются (т.к. ).

Таким образом, схема замещения в t = 0⁺ для производных имеет вид (рис. 4.23). Определим .

4.3. Определение постоянных интегриро­вания:

Решив данную систему уравнений, получим

А ₁ = 0,1667, А ₂ = – 0,455.

5. Определение полного решения. Полное решение следует искать в виде

i ₁(t) = i _1пр + i _1св.

С учетом произведенных расчетов получим

Для удобства преобразуем полученное выражение в синусоидальную форму:

.

Таким образом, искомый ток изменяется по следующему закону

i ₁(t) = 1/3 + 0,485 e ^{-350 t} sin(421,308 t + 2,788).

График изменения i ₁(t) представлен на рис. 4.24.

Порядок расчета переходных процессов классическим методом:

· расчет принужденной составляющей переходного процесса;

· определение корней характеристического уравнения;

· определение свободной составляющей переходного процесса в зависимости от полученных корней;

· запись полного решения ;

· определение независимых начальных условий (ток в индуктивности и напряжение на конденсаторе) из расчета докоммутационного режима;

· определение постоянных интегрирования;

· нахождение окончательного решения .

Классический метод анализа переходных процессов, будучи прозрачным и наглядным, имеет недостатки, связанные с громоздкой процедурой определения начальных условий, которые усугубляются с ростом порядка исследуемой цепи.