С постоянными коэффициентами

Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

Общее решение данного уравнения находится по формуле , где − общее решение соответствующего однородного уравнения , а − частное решение неоднородного уравнения .

В простейших случаях, когда функция , входящая в исходное уравнение является многочленом, либо показательной функцией, либо тригонометрической функцией или , либо линейной комбинацией перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.

В дальнейшем будем употреблять символы для обозначения многочленов степени : , .

Рассмотрим некоторые виды правых частей неоднородного исходного уравнения, допускающие применение этого метода.

Правая часть имеет вид

Частное решение уравнения надо искать в виде

Во всех случаях надо взять многочлен с неопределенными коэффициентами, которые находятся после подстановки в уравнение.

Правая часть имеет вид

Частное решение уравнения надо искать в виде

Во всех случаях надо взять многочлен с неизвестными коэффициентами, которые определятся после подстановки в уравнение.

Правая часть имеет вид

Частное решение уравнения надо искать в виде

Коэффициенты A и B определяются после подстановки в уравнение.

Правая часть имеет вид ,

где − многочлен степени n, а − многочлен степени m.

Частное решение уравнения надо искать в виде

Зависимость частного решения от корней характеристического уравнения отражена в следующей таблице

Тип	Правая часть диф. уравнения	Корни характеристического уравнения	Виды частного решения
I		1. 2. 3.
II		1. 2. 3.
III		1. 2.
IV		1. 2.

Здесь − многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов , а коэффициенты многочленов подлежат определению.

Для определения общего вида многочленов можно воспользоваться следующей таблицей

Данный многочлен в правой части уравнения	Наивысшая степень данного многочлена	Общий вид искомого многочлена
2; −37;

Неопределенные коэффициенты многочленов равенства находятся так.

1. В заданное уравнение подставляется частное решение .

2. Сравниваются коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной в левой и правой частях.

Ниже на примерах укажем, как это выполняется практически.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение дифференциального уравнения 1-го порядка.

2. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения 1-го порядка.

3. Дайте определение частного решения дифференциального уравнения 1-го порядка.

4. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка.

5. Укажите геометрический смысл задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка.

6. Дайте геометрическое истолкование дифференциального уравнения 1-го порядка, выясните геометрический смысл общего и частного решения.

7. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка.

8. Найдите общее решение уравнения и укажите, где условия теоремы не выполняются.

9. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

10. Изложите метод нахождения общего решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

11. Дайте определение однородного дифференциального уравнения 1-го порядка.

12. Изложите метод нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения 1-го порядка.

13. Дайте определение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.

14. Изложите метод нахождения общего решения линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.

15. Дайте определение уравнения Бернулли.

16. Изложите метод нахождения общего решения уравнения Бернулли.

17. Дайте определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах.

18. Изложите метод нахождения общего решения дифференциального уравнения в полных дифференциалах.

19. Что называется особым решением дифференциального уравнения?

20. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 2-го порядка.

21. Какие виды уравнений 2-го порядка допускают понижение порядка?

22. Как понизить порядок уравнения ?

23. Что называется частным решением уравнения . Сколько начальных условий нужно для того, чтобы найти это частное решение?

24. Как понизить порядок уравнения ?

25. Как понизить порядок уравнения ?

26. Какие правила обращения с произвольной постоянной величиной вы усвоили?

27. Как решить задачу Коши для уравнений 2-го порядка?

28. Дайте определение линейного дифференциального уравнения n -го порядка (однородного и неоднородного).

29. Докажите основные свойства частных решений однородного линейного дифференциального уравнения.

30. Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых функций.

31. Докажите, что для линейно зависимых функций определитель Вронского равен нулю.

32. Докажите теорему об общем решении однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

33. Изложите метод нахождения общего решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, если известно одно его частное решение.

34. Выведите формулу для общего решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае вещественных различных корней характеристического уравнения.

35. Выведите формулу для общего решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения.

36. Выведите формулу для общего решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения.

37. Докажите теорему об общем решении однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

38. Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида , где − многочлен степени .

39. Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида

.

40. Докажите, что сумма частных решений уравнений

и

является решением уравнения .

41. Что называется нормальной системой дифференциальных уравнений 1-го порядка? Сформулируйте задачу Коши для этой системы.

42. Изложите метод для нахождения общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений 1-го порядка сведением системы к одному дифференциальному уравнению (метод исключения).

43. Изложите метод для нахождения общего решения нормальной системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения.

44. Запишите в матричной форме нормальную систему и решение нормальной системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Примеры решения задач