Экономический смысл полученных результатов.

Смысл двойственных оценок ресурсов у₁=0, у₂=7, у₃=9 показывает, что добавление одной единицы 1-го (2-го;3-го) ресурса обеспечит прирост прибыли на 0 (7, 9) денежных единиц.

Оценки 3-ей (4-ой) технологий D₃=18 (D₄=8) показывает, что если произвести одну единицу продукции 3-го (4-го) вида (они не входят в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 18 (8) денежных единиц.

V. “РАСШИВКА УЗКИХ МЕСТ“ ПРОИЗВОДСТВА. ФОРМУЛИРОВКА И СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.

При выполнении оптимальной производственной программ второй и третий ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”. Будем заказывать их дополнительно. T=(t₁, t₂, t₃) – вектор дополнительных объёмов ресурсов.

Итак, необходимо составить план “расшивки узких мест“ производства, то есть указать, сколько единиц каждого из дефицитных видов ресурсов должно быть приобретено, чтобы суммарный прирост прибыли был максимальным при условии, что для расчетов используются найденные двойственные оценки ресурсов.

Так как мы используем найденные оценки ресурсов, то должно выполняться условие:

Q (B + T) ³ 0 Û Q B + Q T ³ 0 Û H + Q T ³0

Итак задача состоит в том, чтобы найти вектор T=(t₁, t₂, t₃) такой, что

w = у₁t₁ + y₂t₂ + y₃t₃ ® max,

где w – суммарный прирост прибыли, при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и следовательно структуры производственной программы)

H = Q T ³ 0.

Подставив соответствующие значения, получим требуемую математическую модель:

w=7t₂+ 9t₃ ® max (1)

18 1 1/9 -2/3 0 0

30 + 0 1/3 0 * t₂ ³ 0

46 0 -2/9 1/3 t₃ 0

предполагая, что дополнительно можно надеяться получить не более 1/3 первоначального объёма ресурса каждого вида, то есть

0 140

t₂ £ 1/3 90

t₃ 198

причём по смыслу задачи t₂ ³ 0, t₃ ³ 0. Перепишем неравенства в другом виде. Получим:

{

{

w=7t₂ + 9t₃ ® max

18 + 1/9t₂ – 2/3t₃ ³ 0 -t₂ + 6t₃ £ 162

30 + 1/3t₂ ³ 0 Þ -t₂ £ 90

46 – 2/9t₂ + 1/3t₃ ³ 0 2t₂ - 3t₃ £ 414

t₂ £ 30, t₃ £ 66 t₂ £ 30, t₃ £ 66

Задача оказалась с 3-мя переменными, поэтому, согласно с заданием, мы решим её графически.

{

w=7t₂ + 9t₃ ® max

-t₂ + 6t₃ £ 162 (2)

-t₂ £ 90 (3)

2t₂ - 3t₃ £ 414 (3)

t₂ £ 30 (4)

t₃ £ 66 (5)

t₂ ³ 0, t₃ ³ 0

(1)	t2		-162
	t3

 

(2)	t2
	t3	-90	-90

 

(3)	t2
	t3	-138

 

По графику на рисунке 1 видно, что решение данной задачи находится в точке А(30; 32). Таким образом программа «Расшивки узких мест производства» имеет вид: t₁=0, t₂=30, t₃=32 и прирост прибыли составит w= 7*30 + 9*32 = 498

 

Св)одная таблица результатов по пунктам 1-5

Cj					Bi	X4+i	Yi	Ti
aij
Xj
Dj

VI. СОСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ НОВОЙ ПРОИЗВОДСTВЕННОЙ ПРОГРАММЫ С УЧЁТОМ ПРОПОРЦИЙ.

 

Пусть для выпуска продукции требуется некоторые затраты в определённых пропорциях. Пусть a = 1, b = 3, g=2, d=8, тогда:

x₁/a = x₃/b, а х₂/g = х₄/d, то есть х₃ = 3х₁, х₄ = 4х₂.

Исходя из полученных данных получаем, что математическая модель производственной задачи с учётом полученных пропорций примет вид:

 

Р(х) = 27х₁ + 39х₂ + 3*18х₁ + 4*20х₂®max

{

2х₁ + x₂ + 3*6х₁ + 4*5x₂ £ 140

3х₂ + 4*4x₂ £ 90

3х₁ + 2х₂ + 3*4х₁ £ 198

 

 

P(x)=81x₁ + 119x₂®max

{

20x₁ + 21x₂ £ 140

19x₂ £ 90

15x₁ + 2x₂ £ 198

x₁ ³ 0, x₂ ³ 0

Полученную задачу можно решить графически:

 

(1)	x1
	x2	6,67

 

(2)	x1
	x2	4,73	4,73

 

(1)	x1		13,2
	x2

Grad = (81;119)

 

Решение задачи приведено на Рис. 2.

 

Решение задачи находится в точке А с координатами x₁ = 2,03, x₂ = 4,73, откуда оптимальный план производства: x₁ = 2,03, x₂ = 4,73, x₃ =6,09, x₄ = 18,92, а максимальная прибыль составит P(x)_max = 727,3

 

VII. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.

 

Решение задачи планирования с учётом пропорций оказалось не целочисленным, следовательно следует решить задачу методом ветвей и границ, для нахождения целочисленных решений.

 

G₀ = P(x) = 81x₁ + 119x₂®max

{

20x₁ + 21x₂ £ 140

19x₂ £ 90

15x₁ + 2x₂ £ 198

 

x₁ = 2.03, x₂ = 4.73, P(x)_max = 727.3

P_гр = -¥

{

{

1) См. график на рисунке

G₁ = G₀, x₂ £ 4 G₂ = G₀, x₂ ³ 5

т. А (2,8; 4) решений нет

P(x)_max = 702,8 P_гр = -¥

 

{

{

2) См. график на рисунке

G₃ = G₁ , x₁ £ 2 G₄ = G₁, x₁ ³ 3

т. А (2; 4) т. А (3; 3,8)

P(x)_max = 638 P(x)_max = 525

P_гр = 638

 

{

3) См. график на рисунке

{

G₅ = G₄, x₂ £ 3 G₆ = G₄, x₂ ³ 4

т. А (3,85; 3) решений нет

P(x)_max = 668,85 P_гр = -¥

 

{

{

4) См. график на рисунке

G₇ = G₅ , x₁ £ 3 G₈= G₅, x₁ ³ 4

т. А (3;3) т. А (4; 2,85)

P(x)_max = 600 P(x)_max = 664

P_гр = 600

 

{

{

5) См. график на рисунке

G₉ = G₈, x₂ £ 2 G₁₀= G₈, x₂ ³ 3

т. А (4,9; 2) решений нет

P(x)_max = 638,2 P_гр = -¥

 

Получили целочисленное решение, при котором x₁=2, x₂=4, а P(x)_max = 638.

VIII. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.

1+а11	1+а12	1+а13	1+а14
1+а21	1+а22	1+а23	1+а24
1+а31	1+а32	1+а33	1+а34

 

За вектор объёмов производства примём вектор объёмов ресурсов:

(b1,b2,b3)

а за вектор объёмов потребления принять:

(lс1,lс2,lс3,lс4),

где

 

3 2 7 6

А = 1 4 1 5 – матрица транспортных издержек

4 3 5 1

 

b = 90 -- вектор объёма ресурсов

 

l=(b₁+b₂+b₃) / (c₁ + c₂ + c₃ + c₄) = (198+90+140) / (27+39+18+20) = 4

 

с= (27*4; 39*4; 18*4; 20*4) -- вектор объёма потребления

с=(108; 156; 72; 80)

 

В нашей задаче 4 потребителя и 3 поставщика, причём суммарный объем поставок равный 428 превышает суммарный объем потребления равный 416. Поэтому для решения задачи ведём дополнительно ещё одного потребителя, с потреблением равным 12.

 

Имеем:

 

p\q	q1 = 3	q2 = 6	q3 = 2	q4 = 5	q5 = 0	--
p1 = 0			--	--	--
p2 = -2		--		--	--
p3 = 1	--		--
--

 

 

Для заполненных клеток p_i + q_j = C_ij

 

 

Проверка на оптимальность

 

Для незаполненных клеток D_ij=p_i + q_j - c_ij

D₁₃ = -4 D₁₄ = -6 D₁₅ = -1

D₂₂ = -4 D₂₄ = -7 D₂₅ = -3

D₃₁ = 0 D₃₃ = -1

 

Т.к. все D_ij £ 0, то мы нашли оптимальное решение:

90 108 -- -- --

X_опт = 18 -- 72 -- --

-- 48 -- 80 12

R_min = 90*3 + 108*2+ 18 + 72 + 48*3 + 80 = 3840