Кооперативная биматричная игра как модель конкуренции и сотрудничества.

Математической моделью конфликтов с двумя участниками являются биматричные игры. Такая игра 2х2 задается биматрицей (aij,bij). В кооперативном варианте такой игры игроки могут согласованно выбирать элемент биматрицы. Если они выбрали элемент (a,b), то Первый игрок получает a, а Второй получает b. На этом партия игры закончилась. В следующей игре выбор игроков может быть другим. Цели игроков одинаковы - выиграть как можно больше в расчете на партию в среднем. Пусть CE - выпуклая оболочка множества точек (aij,bij), тогда любая точка CE есть выпуклая линейная комбинация этих точек, т.е. представляется как сумма p11*(a11,b11)+...+p22*(a22,b22), где p11,...p22 - неотрицательные числа, сумма которых равна 1, т.е. вероятности. Пусть (x,y), (a,b) - две точки из CE. Говорят, что (x,y) доминирует (a,b) если x>=a, y>=b и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по Парето, а их множество - множеством оптимальности по Парето. Это множество есть северо-восточная граница множества CE. Еще более узкое множество называется переговорным. Оно определяется так: пусть Vk - максимальный выигрыш, который k-й игрок может обеспечить себе при любой стратегии другого игрока, тогда переговорное множество определяется как множество тех точек множества Парето, у которых k-я координата не меньше Vk. Для нахождения Vk надо решить две задачи ЛП:

 

V1-->max, a11*x+a12*(1-x)>=V1,a21*x+a22*(1-x)>=V1, 0<=x<=1;

V2-->max, b11*y+b12*(1-y)>=V2,b21*y+b22*(1-y)>=V2, 0<=y<=1.

Исходные данные:

 

 

Для исходных данных имеем:

1) для первого игрока:

V₁→max, x+8*(1-x)≥V₁,

2*x+4*(1-x)≥V₁ 0≤x≤1;

-7x+8≥V₁, -14x+ 16≥2V₁, 5V₁ ≤12

-2x+4≥V₁ -14x+28≥7V₁ V₁ ≤ 2,4 V₁ =2,4 выигрыш первого

х=0,8

Стратегия 1-го игрока (0,8;0,2)

2) для второго игрока:

V₂→max, 2y+3*(1-y)≥V₁,

9*y+2*(1-y)≥V₁ 0≤x≤1;

-y+3≥V₂, -7y+21≥7V₂, 8V₂ ≤23

7y+2≥V₂ 7y+2≥V₂ V₂ ≤ 2,88 V₂ =2,88 выигрыш второго

y=0,12

Стратегия 2-го игрока (0,12;0,88)

Переговорное множество на рисунке - ломаная NCM.

 

 

Матричная игра с нулевой суммой как модель сотрудничества и конкуренции.

Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей . Пусть стратегия Первого есть , а Второго – . Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.) с рядом распределения:

			…				…
			…				…

Математическое ожидание этой с.в., т.е. есть средний выигрыш Первого. Пусть есть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. , т.е. риском для Первого при игре со стратегиями . Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, то есть случайный проигрыш Второго и вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.

Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями: – Первый игрок и – Второй.

Математическое ожидание с. в. называется ценой игры, обозначим ее .