I) Случай гипотезы о нормальном законе распределения

Пусть рассматриваемая нами с.в. Х распределена по нормальному закону, тогда основными параметрами данного закона будут математическое ожидание (генеральная средняя) () и среднее квадратическое отклонение .

 

Следовательно, оценками параметров и нормального закона будут: и . Таким образом, 19,424 и 0,831.

 

 

II) Случай гипотезы о показательном законе распределения

Оценки параметра показательного закона распределения будет: . Для нашего расчета 0,051.

III) Случай гипотезы о равномерном законе распределения

Параметрами равномерного закона распределения являются концы интервала a и b. Тогда решая систему уравнений относительно a и b, находим оценки : , . Для нашего расчета 17,985, 20,863.

 

Теоретическая функция плотности выдвинутого

Закона распределения

С.в. Х распределена по нормальному (показательному, равномерному) закону, если она определена на всей числовой оси и имеет плотность. (выбираем свой вариант закона).

Плотность вероятности определяется по формуле (выписываем формулу плотности вероятности для своего соответствующего закона, см. Таблицу «Законы распределения с.в. Х»):

 

График плотности (нормального, показательного, равномерного) распределения имеет вид: (рисуем график плотности соответствующего закона распределения).

Свойства (перечисляем 4 основные свойства функции плотности):

1. Всегда f(x)≥0, так как функция F(x) является неубывающей функцией.

2. Для функции распределения F(x) справедливо равенство:

F(x)=_-∞∫^xf(t)dt.

Действительно, так как по определению f(x)=F'(x), то F(x) является первообразной функцией по отношению к плотности распределения f(x). Следовательно,

_-∞∫^∞f(t)dt=F(t)_-∞ι^x=F(x)-F(-∞)=F(x)-0=F(x.)

3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Α; Β] равна:

P{Α≤X<Β}=_Α∫^βf(t)dt.

Действительно, в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница этот определенный интеграл равен F(Β)-F(Α). По 3-му свойству функции распределения вероятностей эта разность и представляет собой вероятность P{Α≤X<Β}.

4. Интеграл от плотности распределения вероятности по всей области задания случайной величины равен единице:

_-∞∫^∞f(t)dt=1

Найдем теоретическую функцию .

 

Таблица 2 (случай нормального закона).

 

i
	- 0,63	0,6729	0,2874	0,169
	0,091	0,3973	0,3555	0,209
	0,813	0,2874	0,3752	0,22
	1,475	0,1354	0,3939	0,231
	2,137	0,0404	0,3984	0,234
	2,859	0,0067	0,3989	0,234
	3,581	0,0007	0,3989	0,234
	4,303	0,0001	0,3989	0,234

 

Таблица 2 (случай показательного закона).

 

i
	- 0,949	0,387	- 0,979	0,376	0,011
	- 0,979	0,376	- 1,01	0,364	0,012
	- 1,01	0,364	- 1,04	0,353	0,011
	- 1,04	0,353	- 1,066	0,344	0,009
	- 1,066	0,344	- 1,096	0,334	0,01
	- 1,096	0,334	- 1,127	0,324	0,01
	- 1,127	0,324	- 1,158	0,314	0,01
	- 1,158	0,314	- 1,188	0,305	0,009

 

Таблица 2 (случай равномерного закона).

 

i
	18,6; 19,2	0,6	0,208
	19,2; 19,8	0,6	0,208
	19,8; 20,4	0,6	0,208
	20,4; 20,9	0,5	0,173
	20,9; 21,5	0,6	0,208
	21,5; 22,1	0,6	0,208
	22,1; 22,7	0,6	0,208
	22,7; 23,3	0,6	0,208

= 1 / (20,863 – 17,985) = 0,347, где .

 

;

;

.

 

теоретические вероятности.

Результаты расчетов в таблицах 1-2 дают возможность построить на гистограмме выравнивающую кривую функции плотности.

(Далее строим выравнивающую кривую функции плотности (по точкам: .