Уравнение Шредингера для твердого тела.

Твердым телом называется совокупность ядер и электронов.

Стандартное состояние частиц в твердом теле описывается уравнением Шредингера - .

- волновая функция зависит от координат всех частиц.

(r1, r2, r3…rn, R1, R2, R3,….Rn)

Если на волновую функцию наложить ограничения (конечность, однозначность, непрерывность), то уравнение Шредингера будет иметь решение не при всех значениях E, решения E определяет уровни энергии (энергетический спектр) твердого тела.

Одноэлектронное приближение.

В одноэлектронном приближении вводится ряд упрощающих условий:

1. Большая разница масс атомных ядер и электронов приводит к очень большой разнице в скоростях движения. Поэтому при описании движения электрона можно не учитывать движение ядер, а рассматривать движение электрона в поле неподвижных ядер. Это условие получило название адиабатического приближения.

2. Медленное движение ядер можно рассматривать не в поле, создаваемом мгновенным расположением электронов, а в поле, создаваемом средним пространственным распределением зарядов электронов.

3. Взаимодействие каждого электрона с остальными, зависящее от мгновенного расположения всех электронов, рассматривается как взаимодействие электрона с самосогласованным полем, создаваемым средним пространственным распределением зарядов электронов.

Функция Блоха.

Теорема Блоха, которая в трехмерном случае гласит: собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения плоской волны на функцию , периодическую в решетке кристалла:

Функцию часто называют блоховской волновой функцией.

Свойства волнового вектора электрона в кристалле.

На электрон, движущийся в кристалле, действует периодическое поле кристаллической решетки. Энергия этого взаимодействия является периодической функцией координат. Следовательно, энергия и импульс электрона в кристалле изменяются со временем под действием этого поля, т.е. не сохраняются.

- величина называется квазиимпульсом электрона.

Зоны Бриллюэна.

Волновая функция и энергия электрона в кристалле являются периодическими функциями волнового вектора с периодом (или квазиимпульса ).

Если в -пространстве (или -пространстве) построить обратную решетку, растянутую в 2pраз, т.е. решетку с векторами , то все -пространство можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные состояния. Эти области называются зонами Бриллюэна.

· Первая зона Бриллюэна представляет собой элементарную ячейку Вигнера – Зейтца для обратной решетки, растянутой в 2pраз.

· Вторая зона строится аналогичным образом. В обратной решетке, параметры которой растянуты в 2p раз, выбранный при построении первой зоны Бриллюэна за начало отсчета узел, соединяют прямыми линиями с ближайшими эквивалентными узлами, но уже лежащими на поверхности второй координационной сферы. Затем строят плоскости, перпендикулярные этим прямым и проходящим через их середину. В результате получают вторую зону Бриллюэна в виде замкнутого многогранника.

Поверхность Ферми.

Поверхность Ферми – изоэнергетическая поверхность в пространстве квазиимпульсов (p-пространстве), соответствующая фермы-энергии:

Фазовый переход в металле сопровождается изменением его поверхности Ферми. Так, при переходе из парамагнитного в ферро-магнитное состояние происходит расщепление поверхности Ферми на две - для электронов с различно направленными спинами.

Внешнее воздействие на металл может привести к изменению геометрии поверхности Ферми: может возникнуть или исчезнуть полость поверхности Ферми и (или) разорваться либо образоваться перемычка у поверхности Ферми. При этом электронные характеристики металла обнаруживают аномалии, называемые электронным топологическим переходом в нормальном металле.