Логически правильные рассуждения

Наряду с алфавитом и правилами построения сложных высказываний (логических формул), языки логики высказываний содержат правила преобразования логических формул.

Правила преобразования реализуют общелогические законы и обеспечивают логически правильные рассуждения. Корректность допустимых в логике преобразований является фундаментальным свойством формальной (математической) логики.

Процесс получения новых знаний, выраженных высказываниями, из других знаний, также выраженных высказываниями, называется рассуждением (умозаключением).

Исходные высказывания называются посылками (гипотезами, условиями), а получаемые высказывания — заключением (следствием).

Правило заключения — утверждающий модус (Modus Ponens): «Если из высказывания A следует

высказывание B и справедливо (истинно)

высказывание A, то справедливо В».

 

Обозначается:

Для построения логических формул,

отражающих логически правильные ((A ® B)&A) ® B

рассуждения, следует все посылки

соединить конъюнкцией & и полученную таким образом обобщенную посылку связать импликацией ® с выводом

Рассуждение А→В, В НЕ является логически правильным. А

 

Выделены клетки, соответствующие наборам переменных при которых истинны обе посылки.Во втором рассуждении истинным значениям посылок соответствуют А=0 и А=1, следовательно нельзя утверждать, что А- верно.

Пример анализа рассуждений

«Если рабочий отсутствовал на работе (А), то он не выполнил задание (В). Рабочий не выполнил задание. Следовательно, он отсутствовал на работе».

Схема рассуждений А→В, В

А Данное рассуждение НЕ является логически правильным

Логически правильным будет рассуждение (А→В, А) \В

«Если рабочий отсутствовал на работе (А), то он не выполнил задание (В). Рабочий отсутствовал на работе. Следовательно, он не выполнил задание».

Правило отрицания — отрицательный модус (Modus Tollens)

«Если из A следует B, но высказывание А→В, ùВ

В неверно, то неверно и A» ùА

Пример: «Если рабочий отсутствовал на работе (А), то он не выполнил задание (В). Рабочий выполнил задание. Следовательно, он присутствовал на работе.»

Рассуждение А→В, ùА НЕ является логически правильным. ùВ

Пример: «Если рабочий отсутствовал на работе (А), то он не выполнил задание (В). Рабочий присутствовал на работе. Следовательно, он выполнил задание».

 

Правило утверждения–отрицания (Modus Ponendo–Tollens):

«Если справедливо или высказывание A, или высказывание B (в разделительном смысле) и истинно одно из них, то другое ложно»

Правило отрицания–утверждения (Modus Tollen–Ponens):

«Если истинно или A, или B (в разделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое»

 

 

«Если истинно A или B (в неразделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое»

 

 

Правило транзитивности (упрощенное правило силлогизма)

«Если из A следует B, и из B следует C, то из A следует C»

 

 

Закон противоречия:

«Если из A следует B и ØB, то неверно A»

 

 

Правило контрапозиции:

«Если из A следует B, то из того, что неверно B, следует, что неверно A»

 

 

Правило сложной контрапозиции:

«Если из A и B следует С, то из А и Ø С следует ØB»

 

Правило сечения:

«Если из A следует B, а из В и С следует D, то из А и С следует D»

 

Правила импортации (объединения) и экспортации (разъединения) посылок:

 

 

Правило дилемм: