Линейные уравнения высших порядков

1. Основные понятия. Линейным дифференциальным уравнением п-го по­рядка называется уравнение вида

(1)

Здесь функции и f(x) заданы и непрерывны в некото­ром промежутке (а, b).

Уравнение (1) называется линейным неоднородным, или уравнением с правой частью. Если же f(x)≡0, то уравнение называется линейным однород­ным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднород­ное, называется соответствующим ему.

Зная одно частное решение у₁ линейного однородного уравнения, можно с помощью линейной замены искомой функции понизить поря­док, а следовательно, и порядок соответствующего неоднородного уравнения на единицу. Полученное уравнение (n-1) -го порядка относительно z также является линейным.

676. Дано уравнение и известно частное решение y₁ = ln(х) соответствующего однородного уравне­ния. Понизить порядок уравнения.

Решение:

Воспользуемся подстановкой , где z — новая неизвестная функция. Тогда, подставляя соответствующие производные

, ,

в данное уравнение, получим уравнение второго порядка

 

Примечание. Отметим, что применяя указанную подстановку к ли­нейному уравнению второго порядка и учитывая, что линейное уравнение пер­вого порядка интегрируется в квадратурах, можно проинтегрировать в квад­ратурах всякое линейное уравнение второго порядка, если известно одно ча­стное решение соответствующего однородного уравнения.

 

677. Проинтегрировать уравнение , имеющее частное решение

Решение. Произведем замену ;

тогда

Получаем уравнение

Следовательно,

678. Понизить порядок и проинтегрировать уравнение у" sin²x= 2у, имеющее частное решение у=ctgх.

679. Уравнение имеет частное решение у = х. Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.

680. Уравнение имеет частное решение у=sinх. Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.

 

2. Линейные однородные уравнения. Одним из замечательных свойств линейных уравнений является то, что общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям. Приведем теорему о структуре об­щего решения линейного однородного уравнения.

Теорема. Если у₁, у₂,..., y_n—линейно независимые частные реше­ния уравнения

.

то у = С ₁ y ₁ + С₂ y₂ +... + С_n y_n есть общее решение этого уравнения (С₁, С ₂,..., С _n — произвольные постоянные).

П р и м е ч а н и е. Функции у₁ (х), у₂(х),..., y_n(х) называются линейно независимыми в промежутке (а, b), если они не связаны никаким тождеством

.

где α ₁, α ₂,..., α _n —какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно. Для случая двух функций это условие можно сформулировать и так: две функции y ₁ (х) и y ₂ (х) линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной: y ₁/ y ₂ ≠ соnst. Например: 1) у₁=х, y ₂=х²— линейно независимы; 2) у₁=е^x, у₁₌е^-x — линейно независимы; 3) у₁=2е^зх, у ₂ =5е^зx — линейно зависимы.

Достаточным условием линейной независимости п функций, непрерывных вместе со своими производными до (п— 1)-го порядка в промежутке (а, b), является то, что определитель Вронского (вронскиан) W [у ₁, y ₂,..., y_n ]этих функций не равен нулю ни в одной точке промежутка (а, b), т. е.

Если данные п функций являются частными решениями линейного одно­родного дифференциального уравнения n-го порядка, то это условие (необра­щение в нуль) является не только достаточным, но и необходимым условием линейной независимости этих п решений.

Вронскиан л решений линейного однородного уравнения n-го порядка

связан с первым коэффициентом этого уравнения а₁(х) формулой Лиувилля — Остроградского:

Совокупность n решений линейного однородного уравнения n-го порядка, оп­ределенных и линейно независимых в промежутке(а, b), называется фунда­ментальной системой решений этого уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений у₁ (х) и y₂(х), его общее решение находится по формуле

Если для такого уравнения известно одно частное решение у₁ (х), то вто­рое его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле

(являющейся следствием формулы Лиувилля—Остроградского)

Это дает возможность интегрировать линейные однородные уравнения второго порядка, для которых известно одно частное решение, сразу, не при­бегая к понижениюих порядка.

Так, в примере 677 для уравнения известно решение

Найдем по приведенной выше формуле второе решение:

Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид

Рекомендуем решить этим способом примеры 678—680.

681. Показать, что является общим реше­нием уравнения у"— 9y=0.

Решение. Подстановкой в уравнение легко убедиться в том, что функции у₁=е^3x и у₂=е^-3x являются его решениями. Эти частные решения линейно незави­симы, так как , а потому они составляют фун­даментальную систему решений и, следовательно, —общее решение.

 

682. Дано уравнение у'"—у'=0. Составляют ли фундамен­тальную систему решений функции е ^x, е ^-x, сh х, являющиеся, как легко проверить, решениями этого уравнения?

Решение. Для проверки линейной независимости этих решений вычислим врон­скиан:

Этот определитель равен нулю, так как элементы 1-й и 3-й строк одинаковы. Следовательно, данные функции линейно зависимы, а потому составить общее решение по этим частным решениям нельзя. Тот же результат можно получить быстрее, поскольку и, следовательно, данные три функции линейно зависимы.

683. Уравнению у"—у=0 удовлетворяют два частных реше­ния y₁=shx, y₂=chx. Составляют ли они фундаментальную систему?

 

684. Можно ли составить общее решение уравнения

(x≠0) по двум его частным решениям

Установить, являются ли линейно независимыми в проме­жутке своего существования следующие функции:

685. x+1, 2x+1, х+2.

686. 2x²+1, x²-1, х+2.

687. , , .

688. ln(2х), ln(3x), ln(4x).