Первое достаточное условие перегиба.

После того как найдены все , которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции.

Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке , но требует ее существование в окрестности точки .

Сейчас обобщим всю информацию в виде алгоритма.

Алгоритм нахождения точек перегиба функции.

Находим все абсциссы возможных точек перегиба графика функции ( или и ) и выясняем, проходя через какие вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки будут точками перегиба графика функции.

Первое достаточное условие перегиба графика функции позволяет определять точки перегиба и не требуют существования второй производной в них. Поэтому, первое достаточное условие можно считать универсальным и самым используемым.

Сейчас сформулируем еще два достаточных условия перегиба, но они применимы лишь при существовании конечной производной в точке перегиба до некоторого порядка.

Второе достаточное условие перегиба.

Если , а , тогда является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).

Третье достаточное условие перегиба.

Пусть , а , тогда если n – четное число, то является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).

24 Схема исследование функции с помощью производной.

После того, как найдена область определения функции, установлено, является ли она чётной или нечётной, является ли она периодической, найдены корни рассматриваемой функции, находится её производная.

Точки, в которых производная становится равной нулю, являются критическими точками.

Если ƒ (х₀) = 0 и нашлось такое число k, что все точки интервала (х₀ – k; х₀ + k) принадлежат области определения функции и для каждого х ≠ х₀ из этого интервала ƒ (х) > ƒ (х₀), то точка х₀ называется точкой минимума функции ƒ (х).

Если же для каждого х ≠ х₀ из интервала (х₀ – k; х₀ + k) выполняется неравенство ƒ (х) < ƒ (х₀), то точка х₀ называется точкой максимума функции ƒ (х).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – минимум и максимумом.

Если ƒ (х) > 0 во всех точках некоторого интервала, то функция возрастает на этом интервале.

Если ƒ (х) < 0 во всех точках некоторого интервала, то функция убывает на этом интервале.

Если ƒ (х) – некоторая функция, ƒ ' (х) производная этой функции и ƒ (х₀) = 0, то это ещё не означает, что в точке х₀, функция имеет максимум и минимум.

Пример 1.

Рассмотрим функцию у = 3 (х – 3)³.

у ' = 3 (х – 3)². Производная равна нулю при х = 3. Точка (3; 0) данной функции является критической: она может быть точкой максимума или минимума. Но чтобы эта возможность оказалась реальностью, необходимо убедиться, что в некотором промежутке и левее, и правее рассматриваемой точки, функция либо возрастает, либо убывает.

Установить это можно, отыскав знак производной слева и справа от точки (3; 0). Если на каком-то промежутке слева у ' > 0, а справа у ' < 0, то в рассматриваемой точке функция достигает максимума; если слева у ' < 0, а справа у ' > 0, то в рассматриваемой точке функция достигает минимума.

В рассматриваемом примере 3 (х – 3)² > 0 и слева, и справа от точки (3; 0). Следовательно, ни максимума, ни минимума в этой точке нет. График рассматриваемой функции имеет вид как на рис. 1.

Пример 2.

Установим, имеются ли максимумы или минимумы у функции ƒ (х) = 3/4 х⁴ + 2/3х³ – 1,5х² – 2х.

Решение.

Для этого найдём экстремумы (точки в которых производная равна 0) и промежутки монотонности (промежутки, в которых ƒ (х) > 0 и потому функция возрастает, ƒ (х) < 0 и потому функция убывает).

Её производная:

ƒ ' (х) = 3х² + 2 х²– 3х – 2 = х² (3х + 2) – (3х + 2) = (3х + 2)(х² – 1) = (3х + 2)(х – 1)(х + 1).

Корнями производной являются числа -1; -2/3; 1.

Следовательно, область определения функции (-∞; 1); (-1; -2/3); (-2/3; 1); (1; ∞).

Остаётся установить, как ведёт себя функция на интервалах, расположенных левее и правее критических точек. Для этого составим таблицу:

x	ƒ ' (x)	ƒ (x)
(-∞; -1)	< 0	убывает
-1		3/4 – 2/3 – 3/2 + 2 = 7/12
(-1; -2/3)	> 0	возрастает
-2/3		3/4 · 16/81 – 2/3 · 8/27 – 3/2 · 4/9 + 2 · 3/4 = 50/81
(-2/3; 1)	< 0	убывает
		3/4 + 2/3 – 3/2 – 2 = -2 1/2
(1; ∞)	> 0	возрастает