Расчет методом сопротивления материалов.

Заменим вес балки распределенной нагрузкой по всей длине. Интенсивность нагрузки будет равна весу балки на единицу длины.

Получим следующую расчетную схему.

Отбросим опоры и заменим их реакциями.

Значения реакций Построим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Значение изгибающего момента меняется по следующей зависимости:

Напряжение найдем по следующей формуле:

С учетом того, что ось оУ направлена вверх, изменим знак выражения для .

В теории упругости к этому выражению добавляется еще одно слагаемое , что происходит из-за учета напряжения .

Напряжения в сопротивлении материалов принимается равными нулю (не учитывается давление волокон друг на друга), в теории упругости это напряжения нулю не равны.

Напряжение найдем по формуле Журавского:

Получим:

т.е. полностью совпадает с выражением, полученным из теории упругости.

8. На торцах балки появились нормальные напряжения, равные .

 

 

Плоское напряженное, обобщенное плоское напряженное и плоское деформированное состояния.

Имеется пластина малой толщины. Нагрузка действует в плоскости пластины, при этом по толщине не меняется. В предположении, что пластина не может потерять устойчивость, получим плоское напряженное состояние.

Плоское деформированное состояние реализуется в цилиндрических телах большой длины (теоретически бесконечной), при этом нагрузка действует перпендикулярно оси тела и вдоль этой оси не меняется. Нагрузка должна быть самоуравновешивающейся, т.е. не вызывать движения тела.

Обобщенное плоское напряженное состояние схоже с плоским напряженным состоянием, с той лишь разницей, что нагрузка по толщине имеет симметричный характер.

Определение деформированного состояния балки.

В нашем случае имеет место плоское напряженное состояние. Тогда деформации находятся по следующим формулам:

Найдем эти деформации:

Подставим значение констант:

 

Эпюры деформаций.

Построим эпюры деформаций в сечениях

Эпюры .

Эпюры

Эпюры

Эпюры

 

Деформированное состояние.

Изобразим деформированное состояние балки в плоскости хОу.

Перемещения.

Теперь найдем перемещения.

В получившемся выражении одни слагаемые зависят только от х, а другие только оту. Обозначим эти группы слагаемых соответственно через и Тогда

Отсюда следует, что функция равна некоторой константе a, функция некоторой константе b.

Функции и будут иметь следующий вид:

Подставим в выражения для u и v.

 

Константы a, c, d и e найдем из условий закрепления и уравнения (*). Рассмотрим 2 случая закрепления.

1 – й случай. Шарниры на оси балки. В этом центр тяжести срединного сечения (0, 0) горизонтально не перемещается, а вертикальное перемещение равно прогибу балки δ. Прогибы на краях балки отсутствуют.

Наконец, из уравнения (*) с=0.

Получаем:

Подставим константы и построим среднюю линию балки (у=0):

Проверим гипотезу плоских сечений.

Изобразим сечение x=l после деформации:

Как видим, сечение не осталось плоским, а искривилось. Гипотеза не выполняется.

2 – й случай. Шарниры на нижней поверхности балки.В точках отсутствуют вертикальные перемещения. В середине балки в точке отсутствуют горизонтальные.

Отсюда следует а = 0, из (*) с = 0. Также d = 0.

В итоге получаем:

Заметим, что при изменении условий закрепления меняются только вертикальные перемещения. Подставим константы и построим среднюю линию балки.

За счет того, что опоры находятся снизу, крайние сечения немного сдвигаются вниз.

Проверим гипотезу плоских сечений:

Гипотеза не выполняется.