Неопределённый интеграл и его свойства

Неопределённый интеграл и его свойства

 

Первообразная и неопределённый интеграл

 

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти её производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию , зная её производную (или дифференциал). С такой задачей мы встречаемся и в экономике, например, при нахождении функции оборотных средств по известной скорости формирования оборотных средств.

Функция называется первообразной для функции на интервале , если для любого выполняется равенство

.

Например, первообразной функции , является функция , действительно . Первообразными будут также функции ( - постоянная), которые также удовлетворяют условию.

Если первообразная для , то выражение , где - произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции и обозначается символом , где - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, - переменная интегрирования.

Таким образом,

.

Например, .

Нахождение первообразной по её производной или отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированием данной функции. Интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от полученного результата и убедиться, что получена подынтегральная функция.

 

Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Приёмы непосредственного интегрирования

 

Производная от неопределённого интеграла равна подынте­гральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

; .

Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.

.

Постоянный множитель можно вынести из под знака неопреде­лённого интеграла, т.е.

.

Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.

.

Приведём таблицу основных интегралов

I. .

II. .

III. .

IV. .

V. .

VI. .

VII. .

VIII. .

IX. .

X. .

XI. .

XII. .

XIII. .

XIV. .

XV. .

XVI. .

Справедливость формул проверяется дифференцированием.

Вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов и простейших приёмов называется непосредственным интегрирова­нием.

Пример 1. Найти .

Решение

Применив свойства и , имеем

=

= .

Далее находим интегралы с использованием табличных формул:

;

;

;

.

Таким образом,

= + +

+ .

Обычно, все произвольные постоянные суммируют, результат обозначают одной буквой, поэтому

= + +

+ .

Пример 2. Найти интегралы, разложив подынтегральную функ­цию в сумму функций:

а) ;

б) ;

в) .

Решение

а) Применяя формулу сокращенного умножения и умножая почленно, преобразуем подынтегральную функцию в сумму:

.

б) Разделим почленно числитель на знаменатель, применим свойства , и табличные интегралы III, IV.

.

в) Для разложения подынтегральной функции в сумму функций разделим числитель на знаменатель «углом».

Следовательно, , тогда

.

 

Решение

а) Чтобы избавиться от иррациональности, выполним замену переменной .

.

Возвращаясь к , получим

.

б)

.

в)

.

г)

.

При вычислении интегралов б, в, г была использована линейная подстановка . В общем случае справедлива формула

,

Формулу применяют также в обратном направлении

.

В этом случае говорят о наличии дифференциальной связи.

Пример 4. Найти интегралы, используя наличие дифференциаль­ной связи:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение

а)

.

б)

.

в)

.

г) .

В первом из интегралов выполним замену

.

,

значит

.

 

Решение

.

 

Определённый интеграл

 

Решение

Так как одной из первообразных для функции является , то применяя формулу, получим

.

 

Решение

.

Интеграл от неотрицательной функции на отрезке - неотрицательное число, то есть если на , то .

Если на выполняется неравенство , то такое же неравенство выполняется и для интегралов, т.е.

.

Пусть - наименьшее, а - наибольшее значения непре­рывной функции на , тогда

.

Пример 11. Оценить определённый интеграл .

Решение

Функция убывает на промежутке , поэтому , . Значит , .

Если непрерывна на отрезке , то найдётся такое значение , что .

- среднее значение функции на отрезке .

При вычислении определённых интегралов применяют также метод замены переменной, который позволяет упростить интеграл. При этом в отличие от неопределённого интеграла нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно найти пределы интегрирования новой переменной и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.

Формула замены переменной в определённом интеграле имеет вид

.

Пример 12. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

Решение

а)

.

б)

.

Формула интегрирования по частям в определённом интеграле имеет вид

.

Пример 13. Вычислить интеграл .

Решение

,

так как , .

 

Решение

Фигура заключена между графиками функций и . Площадь находим как разность площадей

.

Вычисление объёма тела вращения. Пусть - непре­рывна и неотрицательна на (рис.2). Тогда тело, образованное враще­нием вокруг оси криволинейной трапеции , имеет объём

.

 

 

Рис. 2

 

Пример 15. Найти объём тела (рис.3), полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями , , , .

 

Рис. 3

 

Решение

Искомый объём равен

.

Экономические приложения определённого интеграла

Пример 16. Дана функция предельных издержек

, ,

где - объём выпускаемого товара. Найти функцию издержек

и вычислить издержки в случае производства 10 единиц товара, если известно, что издержки для производства первой единицы товара составили 30 рублей.

Решение

Известно, что предельные издержки есть производная от функции издержек , т.е. . Значит, функцию издержекнаходим интегрированием

.

Для заданной функции имеем

или

.

Из условия найдём . Тогда получаем,

.

При вычислим .

Пример 17. Функция изменения затрат времени на изготовление изделий имеет вид . Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от до .

Решение

Если известна функция , описывающая изменение затрат времени на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где - порядковый номер изделия в партии, то среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от до , вычисляется с помощью интеграла

.

В нашем случае

.

 

Несобственные интегралы

 

При определении определённого интеграла предполагалось, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Однако возможны случаи, когда одно или оба этих условия не выполняются. В этом случае соответствующие интегралы называются несобственными.

Пусть функция интегрируема на каждом конечном отрезке , т.е. существует определённый интеграл . Тогда за несобственный интеграл принимают предел

.

Если предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. В противном случае говорят, что расходится.

Итак,

.

Аналогично можно рассмотреть несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом

.

Или с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования .

.

Если существуют несобственные интегралы и , то существует и несобственный интеграл , независящий от выбора промежуточной точки .

Пример 18. Найти несобственные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение

а) По определению имеем

Несобственный интеграл сходится и равен .

б)

.

Интеграл сходится.

в)

.

Интеграл расходится.

Кроме несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования в литературе рассматриваются несобственные интегралы от неограниченных функций. Предлагаем изучить этот материал самостоятельно.

 

Решение

Уравнение линий уровня

или .

Приведём к виду . Это уравнение окружности с центром в точке (-1; 0) и радиусом (рис.4). Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом . Точка (-1; 0) – вырожденная линия уровня, соответствующая значению .

 

Рис. 4

 

Решение

а)

.

.

б) При фиксированном имеем показательную функцию

.

При фиксированном имеем степенную функцию

.

Упорядоченная пара частных производных или функции двух переменных обозначается символом или и называется градиентомфункции двух переменных. Градиент функции двух переменных есть двумерный вектор.

Градиент функции в точке показывает направление самого быстрого роста функции в точке .

Пример 21. Для функции двух переменных :

а) построить линию уровня, проходящую через точку (1; 9);

б) найти градиент в этой точке;

в) построить градиент.

Решение

а) Найдём уровень , который равен частному значению функции в точке (1; 9): .

Уравнение линии уровня имеет вид

или , или , или - гипербола
(рис. 5).

б) Найдём

, ,

, ,

.

в) Строим вектор выходящим из точки . Конец вектора в точке с координатами

, .

 

Рис. 5

 

Градиент всегда перпендикулярен линии уровня , проходящей через точку .

 

Решение

 

Решение

Найдём значение прибыли от реализации товара и в объёмах и как разность между доходом от продажи и издержками .

.

Определим стационарные точки функции. Найдём частные производные:

, .

Решим систему:

Точка - стационарная точка функции.

Найдём частные производные второго порядка:

Учитывая что , а , определим: - точка максимума. Найдём максимальное значение прибыли .

Условный экстремум

Экстремум функции при условии, что и связаны уравнением , называется условным экстремумом. Уравнение называется уравнением связи.

Для решения задач на условный экстремум обычно используется метод Лагранжа.

Составим вспомогательную функцию

.

Функция называется функцией Лагранжа, а - множителем Лагранжа.

Точка условного экстремума является точкой локального экстремума функции Лагранжа, её координаты должны удовлетворять уравнениям

Пусть - любое решение этой системы и

.

Если , то функция имеет в точке условный максимум, если , то условный минимум.

Пример 24. Найти экстремум при условии .

Решение

Функция Лагранжа имеет вид .

Найдём частные производные

.

Решим систему

- «подозрительная» точка.

Наёдем частные производные

Вычислим определитель

.

В точке функция имеет условный экстремум

.

 

Метод наименьших квадратов

 

Пусть имеются данные наблюдений в точках , , , …, некоторой величины и получены соответствующие значения , , , …, .

Необходимо подобрать функцию определённого вида , чтобы она по возможности наиболее точно отражала общую зависимость измеряемой величины от параметров (координат) точек измерения .

При обработке данных экономической статистики наиболее распространённым является приближение эмпирической формулой в виде линейной функции одной переменной .

Неизвестные параметры эмпирической функции и необхо­димо определить так, чтобы значения функции по возможности наименее всего отклонялись от измеренных значений.

Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов отклонений функции в точках , , , …, от изме­ренных значений , , , …, .

Для нахождения точки минимума функции найдём частные производные этой функции по переменным и и приравняем их к нулю.

Коэффициенты и определяются из системы так называемых нормальных уравнений.

Пример 25. В результате эксперимента для пяти значений аргумента получены пять значений величины .

 

	-2
	0,5		1,5

 

Методом наименьших квадратов найти функциональную зависи­мость между и в виде линейной функции .

Решение

Значение параметров и найдём из системы. Выполним необходимые вычисления:

Запишем систему:

Решим систему по формулам Крамера:

Значит , .

Функция имеет вид .

 

Основные понятия

 

Уравнение вида

,

где - независимая переменная;

, - неизвестная функция и её производная,

называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В случае, когда из уравнения можно выразить , оно имеет вид

.

У<