Основные законы применяемые для составления описания элементов САР. Уравнение емкости, как объекта управления.

 

Для получения описаний уравнений элементов используются физические законы, определяющие их поведение в системе. Обычно такими законами являются:

второй закон Ньютона в виде

для описания прямолинейного движения тела (m – масса, F – движущая сила, - линейная скорость движения), а также для описания вращательного движения тела в виде

- для описания вращательного движения,

- момент инерции вращающейся массы, - вращающий момент, - угловая скорость);

закон сохранения энергии в виде - для описания изменения температуры тела c массой и удельной теплоемкостью «» под действием теплового потока ;

уравнение состояние газа в виде - для установления математической связи давления газа , его температуры и объема физически однородной системы в состоянии термодинамического равновесия (R – газовая постоянная, - масса газа).

Кроме указанных применяются и другие законы физики, например, устанавливающие связь между электрическими переменными и параметрами различных электромеханических устройств, применяемых в системах управления и т. д.

Математическое выражение физического закона, который описывает процесс, протекающий в данном элементе, является исходным уравнением.

Рассмотрим пример. Пусть требуется получить уравнение для емкости с газом, рис.1. При этом емкость будем рассматривать как объект, в котором требуется регулировать давление газа. Обозначим через Р_г, Т_г и V_г соответственно давление, температуру и объем газа в емкости. Массовые расходы газа в емкость и из емкости обозначим соответственно символами G_П и G_B.

Исходным уравнением, отражающим термодинамическое равновесное состояние газа в емкости, служит уравнение состояния

. (1.9)

Дополняющими уравнениями являются зависимости, определяющие расходные характеристики:

Можно упростить, считая, что T_г = соnst и ς = сonst. В этом варианте можем записать, что:

G_П = f_П (Р_г); (1.10)

G_В = f_В (Р_г, r).

Расходные характеристики часто задаются в виде экспериментальных зависимостей. В данном случае эти характеристики являются нелинейными и имеют вид некоторых условных кривых, представленных на рис.

Рг,0

Для составления уравнения емкости запишем уравнение состояния в виде

= . Далее можно записать . Последнее выражение также соответствует записи . Приравнивая правые части двух равенств, получим искомое уравнение

(1.11)

Так как зависимости G_B и G_П нелинейные (см.рис.), то и полученное уравнение является нелинейным. Уравнение (1.11) можно записать в символическом виде

F () = 0. (1.12)

Видно, что в данном уравнении две переменные: и . Так как емкость рассматривается как объект регулирования, то можно утверждать, что давление газа в емкости является регулируемой величиной, а перемещение заслонки - регулирующим воздействием.

5. Формы записи линеаризованных уравнений..

В теории автоматического управления применяются две стандартные формы записи дифференциальных уравнений элементов.

	Дин. звено

отклонения переменных от своих установившихся значений

 

Первая форма записи.

(1.19)

В уравнении коэффициенты и называют коэффициентами передачи, а коэффициенты и постоянными времени. В случае элементов, у которых переменные и имеют одинаковые размерности для коэффициентов и используются и другие названия:

коэффициент усиления - для усилителей сигналов;

передаточное число – для редукторов, делителей напряжения и др

Постоянные времени и имеют размерность времени. Размерности коэффициентов передачи связаны с размерностями переменных и могут быть определены из уравнения (1.19). Оператор дифференцирования имеет размерность

Вторая форма записи. В теории автоматического регулирования широко применяется понятие передаточной функции.

Передаточной функцией САР или другого какого-либо устройства называется отношение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является второй формой записи дифференциальных уравнений элементов САР. Например, уравнение

в этой форме должно иметь вид

. (1)

Из этого же уравнения следует, что

. (2)

Видно, что при нулевых начальных условиях отношение изображений Лапласа входного и выходного сигналов (1) совпадает с отношением их оригиналов (2). Поэтому в теории управления последнюю запись принимают за передаточную функцию, считая ее второй формой записи..

Группы динамических звеньев

T1

Линейные динамические звенья условно делят по виду их дифференциальных уравнений на следующие основные группы:

1.Позиционные звенья;

2.Дифференцирующие и интегрирующие звенья;

3.Трансцендентные звенья.

Для изучения свойств звеньев, в последующем материале установлен следующий порядок рассмотрения их характеристик: переходная характеристика, анализ; частотные характеристики, анализ.

Позиционные звенья. К позиционным звеньям относятся апериодические звенья первого и второго порядков, колебательное и консервативное звено.

Апериодическое звено 1 порядка. К этому типу звеньев относятся устройства, описываемые уравнением

.

Передаточная функция звена

Колебательное звено. К этому типу звеньев относятся устройства, описываемые уравнением

.

Передаточная функция звена

.

Уравнение (1.48) удобно представить в виде

x ,

где x - параметр затухания колебаний, x = , (0 < < 1).

Если принять , то колебательное звено становитсяапериодическим второго порядка.

Очевидно, что уравнение звена по внешнему виду совпадает с уравнениями для колебательного звена (1.48) и (1.49). Однако, при 1 характеристическое уравнение звена имеет два вещественных корня (1.52). Поэтому передаточную функцию апериодического звена второго порядка оказывается возможным представить в виде двух последовательно соединенных передаточных функций, рис.1.31.

Коэффициенты

Если принять , то окажется, что и . В этом варианте колебательное звено превращается в консервативное. Уравнение консервативного звена имеет вид

.