Физические основы метода георадиолокации

Теоретические основы

Прямая задача в общем случае состоит в определении распределения поля излучения заданных источников.

В качестве прямой задачи будем искать поле сосредоточенного источника в свободном пространстве.

Расположим начало декартовой системы координат в середине вибратора и направим ось Zвдоль его оси. Если длина вибратора L, то произведение (электрический момент вибратора) при должно оставаться постоянным. Линейный вибратор при этом превращается в точечный, ток которого можно представить в виде функции:

Поле такого вибратора удобно описывать электрическим векторным потенциалом , связанным с напряженностью поля соотношением:

.

В нашем случае имеет только z-ую компоненту:

,

Функция удовлетворяет уравнению колебаний:

, (1)

, ,

, , (2)

, .

Возбуждаемое таким источником поле, очевидно, будет иметь ту же временную зависимость, так что можно записать:

= .

Тогда:

,

где = .

С точностью до коэффициента функция совпадает с функцией Грина:

=

Итак, функция удовлетворяет уравнению:

(3)

В качестве граничных условий для функции примем, учитывая условия (2), что на бесконечности вместе со своими производными обращается в нуль[1]. Для нахождения функции Грина применим преобразование Фурье по . Обозначим:

.

Преобразование Фурье производной легко вычисляется интегрированием по частям с учетом граничных условий для :

Записывая аналогично результаты преобразования других членов в уравнении (3) и учитывая, что:

,

получим:

.

Отсюда для трансформанты Фурье запишем:

.

Функция Грина G определиться теперь обратным преобразованием Фурье:

. (4)

Выражение (3) является разложением функции Грина по плоским однородным волнам всевозможным длин и направлений. Распространение волн происходит в направлении вектора:

– длина этих волн

– амплитуда

, (5)

где = .

Перейдем к сферической системе координат ,поскольку фиксировано (мы ищем ), отсчет углов удобно вести от направления . Тогда

; ;

.

(здесь сделана замена t=cos )

.

Заменяя во втором интеграле на– ,получим:

Считаем, что Im > 0,предполагая тем самым сколь угодно малое поглощение в среде. Тогда интеграл легко вычисляется с использованием теории вычетов, и для z > 0 получаем:

Эту функцию называют фундаментальным решением уравнения Гельмгольца в пространстве[2]. Таким образом, поле векторного потенциала, возбуждаемое точечным источником, представляет собой сферическую волну, фаза которой:

Re(),

а амплитуда:

.

Моделирование

Используя решение прямой задачи в виде функции Грина, было смоделировано распределение поля от трех точечных рассеивателей. Параметры моделирования сигналов приведены в таблице 1. Положение рассеивателей (2, 3), (4, 2) и (6, 1) метров.

Таблица 1 – Параметры моделирования

Длина трассы по X	10 м
Число точек зондирования вдоль X
Длина трассы по Z	5 м
Число точек зондирования вдоль Z

 

На рисунке 1.1 изображен моделированный сигнал от трех точечных источников в двумерном пространстве. Вершины гипербол указывают на точное расположение этих источников.

 

Рисунок 1.1 – Моделированный сигнал от трёх точечных источников

 

Рисунок 1.2 – Двухмерное изображение смоделированного сигнала

 

Из рисунка 1.2 видно изображение моделированных сигналов с изображением их амплитуд в относительных единицах.

Рисунок 1.3 – Одномерный вид среза сигнала (Х=2)

На рисунке 1.3 изображен срез моделированного сигнала по смещению в точке Х=2. На расстоянии 2.2 м сигналы от двух точечных источников накладываются друг на друга.

Рисунок 1.4 – Одномерный вид среза сигнала (Х=4)
Рисунок 1.5 – Одномерный вид среза сигнала (Х=5)
Рисунок 1.6 – Одномерный вид среза сигнала (Х=6)

На рисунках 1.4, 1.5, 1.6 видно уже 3 источника, на различных срезах.