Частные производные сложных функций нескольких переменных

 

Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функции f (x,y,z)) сами являются функциями от новых переменных U, V, W).

Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную систему O₀UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:

То есть задана сложная функция T трех "новых" переменных U, V, W посредством трёх "старых" переменных x, y, z, тогда:

Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если

то

В частности, если z = f(xy), y = y(x), то получаем так называемую формулу "полной производной":

Эта же формула "полной производной" в случае:

примет вид:

Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32).

Замечание: формула "полной производной" используется в курсе физики, раздел "Гидродинамика" при выводе основополагающей системы уравнений движения жидкости.

Пример 1.10. Дано:

Найти

Решение

Согласно (1.31):

Ответ:

Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных

 

Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительно y:

Пример 1.11.

Уравнение

неявно задаёт две функции:

А уравнение

не задаёт никакой функции.

Теорема 1.2 (существования неявной функции).

Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производные f'_x и f'_y определены и непрерывны в некоторой окрестности U_M0 точки M₀(x₀y₀). Кроме того, f (x₀,y₀)=0 и f '(x₀,y₀)≠0, тогда уравнение (1.33) определяет в окрестности U_M0 неявную функцию y= y(x), непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале D с центром в точке x₀, причем y (x₀)=y₀.

Без доказательства.

Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D:

то- есть имеет место тождество по

Поэтому

где "полная" производная находится согласно (1.31)

То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x.

Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.

Например, если в некоторой области V пространства Oxyz выполняется уравнение:

то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию

При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так:

Пример 1.12. Считая, что уравнение

неявно задаёт функцию

найти z'_x, z'_y.

Решение

Имеем:

поэтому согласно (1.37) получаем ответ.

Ответ.