Метод собственных векторов приведения квадратичной формы к каноническому виду

Пример 3. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму

F = 11 + 5 + 2 + 16 x ₁ x ₂ + 4 x ₁ x ₃–20 x ₂ x ₃

к каноническому виду, и написать этот канонический вид:

Р е ш е н и е. Матрица квадратичной формы имеет вид A = .

Найдем собственные числа этой матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение:

| A – λE | = = (11− λ) (5− λ) (2− λ) + 2⋅8⋅(−10) + 2⋅8⋅(−10) − 2⋅(5− λ)⋅2−(11− λ)·

⋅(−10)⋅(−10)−8⋅8⋅(2− λ) = − λ ³ + λ ² (2+5+11) − λ (10+22+55) +110 −160 – 160 – 20 + 4 λ − 1100 + 100 λ –

–128 + 64 λ = − λ ³ +18 λ ² + 81 λ −1458 = − λ (λ ² − 81) + 18 (λ ² − 81) = (λ − 9) (λ + 9) (− λ + 18) = 0.

Отсюда находим собственные числа: λ ₁ = 9, λ ₂ = −9, λ ₃ = 18.

Далее находим собственные векторы:

Собственный вектор для собственного числа λ ₁ = 9 найдем из системы =>

~ ~ ~ ~

ð

Решая данную систему, получим x ₁ = x ₃, x ₂ = – x ₃.

Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Соответствующий ортонормированный собственный вектор:

= => e ₁ = .

Собственный вектор для собственного числа λ ₂ = –9 найдем из системы

~ ~ ~

ð Решая данную систему, получим x ₁ = – x ₃, x ₂ = x ₃.

Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Соответствующий ортонормированный собственный вектор:

= => e ₂ = .

Собственный вектор для собственного числа λ ₃ = 18 найдем из системы

~ ~ ~ ~

~ =>

Решая данную систему, получим x ₁ = –2 x ₃, x ₂ = –2 x ₃.

Фундаментальная системарешений состоит из одного вектора .

Соответствующий ортонормированный собственный вектор:

= 3 => e ₃ = .

Т.о., матрица S = , S ^Т = . D = S ^Т AS = .

В базисе B = (e ₁, e ₂, e ₃) заданная квадратичная форма х А х имеет вид 9 – 9 + 18 ,

а соответствующее преобразование координат:

 

2.5. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Уравнение второго порядка вида x ² + 2 xy + y ² + 2 x + 2 y + = 0 определяет на плоскости кривую. Группа членов B = x ² + 2 xy + y ²называется квадратичной формой, L = 2 x + 2 y – линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.
Матрица B = называется матрицей квадратичной формы. Здесь

= . Чтобы матрицу B привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда B = , где λ ₁ и λ ₂ – собственные числа матрицы B.

В базисе из собственных векторов матрицы B квадратичная форма будет иметь канонический вид:

λ ₁ + λ ₂ .

Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы.

Канонический вид кривой второго порядка: λ ₁ + λ ₂ = a, причем:

а) если λ ₁ > 0, λ ₂ > 0 – эллипс, в частности, при λ ₁ = λ ₂ это окружность;
б) если λ ₁ > 0, λ ₂ < 0 (λ ₁ < 0, λ ₂ > 0) имеем гиперболу;
в) если λ ₁ = 0 либо λ ₂ = 0, то кривая является параболой и после поворота осей координат

имеет вид λ ₁ = ax ₁ + by ₁ + c (здесь λ ₂ = 0). Дополняя до полного квадрата, будем

иметь: λ ₁ = ax ₁ + by ₂.

Начало формы

Конец формы

Пример 1. Дано уравнение кривой 3 x ² + 10 xy + 3 y ² – 2 x – 14 y – 13 = 0
в системе координат (0, i, j), где i = {1, 0}, j = {0, 1}.
1). Определить тип кривой.
2). Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3). Найти соответствующие преобразования координат.

Р е ш е н и е. Приводим квадратичную форму B = 3 x ² + 10 xy + 3 y ²к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы B = . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: .Характеристическое уравнение = λ ² − 6 λ −16 = 0 имеет корни: λ ₁ = –2, λ ₂ = 8.Вид квадратичнойформы: –2 + 8 .Т.о., исходное уравнение определяет гиперболу.

Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать8 – 2 ,однако тип кривой остался тот же – гипербола.

Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.

λ ₁ = –2: => x ₁ + y ₁ = 0.

Собственный вектор, отвечающий числу λ =–2при x ₁=1: x ₁= {1, –1}. В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор i ₁ = ,где – длина вектора x ₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственномучислу λ = 8,находим из системы => x ₁ –y ₁ = 0 => x ₂= {1, 1}, j ₁ =
Итак, имеем новый ортонормированный базис(i ₁, j ₁).
По формулам x = S y переходим к новому базису: = или

x = x ₁ + y ₁, y = – x ₁ + y ₁. (*)

 

Вносим выражения x и y в исходное уравнение и, после преобразований, получаем:

–2 + 8 + x ₁– y ₁= 13

Выделяем полные квадраты: –2 + 8 = 8.

х ₂= x ₁– , у ₂= у ₁– .

Проводим параллельный перенос осей координат в новое начало: х ₂= x ₁– , у ₂= у ₁– .
Если внести эти соотношения в (*) и разрешить эти равенства относительно x ₂и y ₂, то получим:

х ₂= , у ₂= .

В системе координат(0^*, i ₁, j ₁)данное уравнение имеет вид:– + =1.
Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x ₂ = 0задается в старой системе координат уравнением x – y – 3 = 0,а ось y ₂ = 0уравнением x + y – 1 = 0.Начало новой системы координат0 ^* (2, –1)является точкой пересечения этих прямых.

Для упрощения восприятия разобьем процесс построения графика на 2 этапа:

1. Переход к системе координат с осями x ₂ = 0, y ₂ = 0, заданными в старой системе координат уравнениями x – y – 3 = 0и x + y – 1= 0соответственно.

2. Построение в полученной системе координат графика функции.

Пример 2. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка

9 х ² – 4 ху + 6 у ² + 16 х – 8 у – 2 = 0,

определить ее тип и найти каноническую систему координат.

 

Р е ш е н и е. Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна .

Ее собственные числа

(9 – λ) (6 – λ) – 4 = 0 => λ ² – 15 λ + 50 = 0 => λ ₁ = 5, λ ₂ = 10;

собственные векторы:

λ ₁ = 5: => е ₁ = . λ ₂ = 10: => е ₂ = .

Выполняя преобразования

х = (х´ – 2 у´), у = (2 х´ + у´),

получаем

5 + 10 – у ´ – 2 = 0.

Т.к. λ ₁и λ ₂отличны от нуля, то по каждой из новых переименованных х´ и у´ можно выделить полный квадрат:

по х´ полный квадрат уже есть (преобразование сдвига делать не нужно);

по у´: 10 – у ´ = 10 – 8.

Заменой переменных = х ´, = у ´– , соответствующий сдвигу по оси Оу,получим

5 + 10 – 10 = 0 или + = 1.

Данное уравнение есть каноническое уравнение эллипса. Результирующее преобразование координат имеет вид

х = ( – 2( + )) = ( – 2 ) – , у = (2 + ( + )) х = (2 + ) + ,

а каноническая система координат(О´, е ₁, е ₂), где

О´ (– , ), е ₁ = i + j, е ₂ = – i + j.

Задания. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка определить ее тип и

найти каноническую систему координат:

1. 5 +6 x ₁ x ₂ – 3 = 36.

2. 4 x ₁ x ₂+3 = 16.

3. 3 +2 x ₁ x ₂+3 = 4.

4. 4 +4 x ₁ x ₂+ = 20.

5. 5 +12 x ₁ x ₂= 36.

6. – 6 x ₁ x ₂+ = 8.