Прямые методы решения СЛАУ. Метод прогонки

Применяется для решения систем уравнений с трехдиагональной (ленточной) матрицей. Такая система уравнений записывается в виде:

.

Является частным случаем метода Гаусса и состоит из прямого и обратного хода. Прямой ход состоит в исключении элементов матрицы системы (2.6), лежащих ниже главной диагонали. В каждом уравнении останется не более двух неизвестных и формулу обратного хода можно записать в следующем виде:

, (2.7)

Уменьшим в формуле (2.7) индекс на единицу: и подставим в (2.6):

Выразим :

(2.8)

Сравнивая (2.7) и (2.8), получим:

(2.9)

Поскольку , то ;

(2.10)

Теперь по формулам (2.9) и (2.10) можно вычислить прогоночные коэффициенты и (). Это прямой ход прогонки. Зная прогоночные коэффициенты, по формулам (2.7), можно вычислить все () (обратный ход прогонки). Поскольку , то и . Далее вычисляем , ,..., , .

31) Итерационные методы решения СЛАУ. (метод Якоби) Суть вычислений итерационными методами состоит в следующем: расчет начинается с некоторого заранее выбранного приближения (начального приближения). Вычислительный процесс, использующий матрицу , вектор системы (2.1) и , приводит к новому вектору :

, (2.11)

Затем процесс повторяется, только вместо используется новое значение . На -м шаге итерационного процесса по получают:

, (2.12)

При выполнении некоторых заранее оговоренных условий процесс сходится при . Сходимость метода простой итерации обеспечивается при выполнении условия преобладания диагональных элементов матрицы A, т.е. при:

, (2.13)

Заданная точность достигается при выполнении условия:

(2.14)

(метод Зейделя) Вычисления в этом методе почти такие же, как и в методе Якоби, с той лишь разницей, что в последнем новые значения не используются до новой итерации. В методе Зейделя при нахождении -ой компоненты используются уже найденные компоненты этой же итерации с меньшими номерами, т.е. последовательность итераций задается формулой:

, (2.17)

Сходимость и точность достигаются условиями (2.13) и (2.14).

Аппроксимация функций. Постановка задачи и способы ее решения.

Очень часто в практической работе возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость (формулу) между величинами и , которые заданы отдельными парами значений , (таблицей), например, полученными в результате измерений.

Задача восстановления аналитической функции по отдельным значениям называется аппроксимацией. Для получения единственного решения задачи аппроксимации необходимо

1. Задать общий вид аппроксимирующей функции, включающий неизвестные параметры (коэффициенты). Вид функции задается, исходя из формы распределения аппроксимируемых значений (расположения точек на графике), из предполагаемой функциональной зависимости, или просто в виде полинома некоторой степени;

2. Определить значения параметров на основе заданного критерия близости. Здесь существует два основных подхода – интерполяция и сглаживание.