Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины

Функция называется функцией Лапласа или интегралом вероятности. Она тесно связана с нормальным законом распределения. Ее основные свойства:

1) область определения функции Лапласа – вся числовая ось;

2) функция Лапласа монотонно возрастает на всей числовой прямой, т.к. ;

3) функция - нечетная, покажем это.

4) . Действительно,

График.

Итак, пусть у нас имеется нормальная случайная величина X с математическим ожиданием а и дисперсией . Тогда функция распределения этой случайной величины

.

 

Сделаем замену переменной в этом интеграле, положив . Тогда , при , , при , .

 

Если , то случайная величина называется нормированной. График функции распределения нормированной нормальной случайной величины с математическим ожиданием , т.е. имеет вид:

 

Найдем вероятность того, что случайная величина , распределенная по нормальному закону с параметрами , , примет значение из

 

Таким образом,

 

.

 

Найдем вероятность того, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания по модулю меньше некоторого положительного , т.е. найдем вероятность

.

 

Итак: .

 

Вероятность того, что нормальная случайная величина отклоняется от своего математического ожидания по модулю меньше, чем на , определяется формулой

.

Если в этой формуле положить , то получим

 

.

 

Отсюда вытекает, что среди 10000 значений нормальной случайной величины в среднем только 27 выйдут за пределы интервала . Это означает, что практически среди небольшого числа значений нет таких, которые выходят за пределы указанного интервала. В этом и состоит правило «трех сигм», которое широко применяется в статистике.

Неравенство Маркова

Теорема. Если случайная величина может принимать только неотрицательные значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была величина той же размерности, что и , всегда выполняется неравенство

 

.

 

Доказательство. Пусть - непрерывная случайная величина с плотностью распределения . Из условия теоремы следует, что при и при .

 

Математическое ожидание случайной величины -

(разобьем на два интеграла)

.

Так как , то .

Итак,

, .

Если это неравенство вычесть из тождества 1=1, то

или . Что и требовалось доказать.

 

Пример. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить снизу вероятность того, что данный мотор не прослужит 20 лет.

Решение. Пусть случайная величина - срок службы мотора. Из условия задачи - . Требуется оценить снизу вероятность . Эту вероятность можно рассматривать как левую часть неравенства Маркова с . Тогда

.

Пример. Сумма всех вкладов в некотором сберегательном банке составляет 2 млн. рублей, вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 10000 руб. равна 0.8. Что можно сказать о числе вкладчиков данного сберегательного банка?

Решение. Пусть - величина случайно взятого вклада, а - число всех вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что . Так как , то по неравенству Маркова получим или

 

, , .

Неравенство Чебышева

 

Теорема. Каково бы ни было для любой случайной величины , дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышева

.

 

Доказательство. Рассмотрим величину .

 

.

 

Для получим

 

.

 

Подставим в это неравенство выражение через и

 

или

 

 

Примеры.

 

Определение. Последовательность чисел называется равномерно ограниченной, если существует такая постоянная М, что для любого .

Теорема Чебышева

Если - последовательность попарно независимых случайных величин, у каждой из которых есть математическое ожидание и дисперсия , , причем дисперсии равномерно ограничены, то для любого положительного

 

 

Доказательство.

 

Последовательность равномерно ограничена, т.е. существует такое М, что для любого натурального . Рассмотрим случайную величину

. У этой величины есть математическое ожидание и дисперсия:

 

,

 

Здесь мы воспользовались свойством, что если случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

 

Таким образом, удовлетворяет всем требованиям для применения неравенства Чебышева, а значит, при любом имеем

или

 

Итак,

 

 

Пусть , тогда при любых .

 

Отсюда , что и требовалось доказать.

 

Следствие.

Если - последовательность независимых случайных величин, математические ожидания каждой из которых равны , а дисперсии , то ……………

 

 

 

 

()

 

 

 

Отсюда следует ,

Если точность всех измерений одна и та же, т.е. , i=1,2,…

Теорема Бернулли

S n A p

 

 

Пусть случайная величина - число наступлений события А в i -ом испытании.

 

Следовательно,

 

 

через m, то

 

или

 

 

 

 

 

i						…
						…

 

,

 

Теорема Ляпунова

Можно доказать, что CBX₁X₂…X_n –являются независим нормально распределенными CB, то сумма также распределена по номмальному закону с мат. Ожиданием равным сумме мат. ожиданий и дисперсией равной сумме дисперсий. Обобщением этого утверждения является следующая Т. Ляпунова

Т. Если X₁X₂…X_n –независимые CB, у каждой из которых существует мат ожидание и диспепсия , , также существует , а также
, тогда сумма S=X₁+X₂+…+X_n распределена асимптотически по нормальному закону с мат ожид равным сумме мат ожид и дисперсий равной сумме дисперсий, тогда для

– ранее вывели. Ф-ция Лапласа.

Следствием из Т. Липунова являются следующие неравенства:

1)

2)

3)

 

Здесь γ и ε –любые положительные числа, а также a₁=a₂=…=a_n=a,

Например, если производятся измерения некоторой величины, истинное значение которой равно a, то среднее арифметическое значение результатов измерений отличается от истинного значения по модулю меньше чем ε с вероятностью прибл равной