Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Принцип решения рассмотрим на примере решения уравнения второго порядка. Пусть требуется решить задачу Коши:

.

Пусть , а f(t) F(p), тогда ,

Применим к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа, уравнение примет вид:

или .

Это уравнение является алгебраическим, линейным относительно . Решив его, получим .

Теперь по найденному изображению можно восстановить соответствующий ему оригинал x(t),т.е. найти решение данного дифференциального уравнения. Легко заметить, что в знаменателях обеих дробей стоит характеристический многочлен исходного уравнения, и что простой вид приобретает, если начальные условия задачи Коши нулевые.

Пример 1. Решить задачу Коши .

Решение.

Обозначим через изображение искомого решения, тогда , а , а изображение данного уравнения имеет вид , откуда .

Оригинал данного изображения x(t)=2t²-1,и это и есть решение данного уравнения.

Пример 2. Решить задачу Коши.

Решение.

Пусть - изображение искомого решения x(t), тогда , , а .

Таким образом, изображение исходного уравнения имеет вид , отсюда .

Используя таблицу основных изображений и таблицу сверток, получаем, что
Пример 4. Решить задачу Коши.

Решение.

Пусть – изображение решения x(t) данного уравнения, тогда , .

Таким образом, изображение исходного уравнения имеет вид: , следовательно , отсюда ;

;

, т.о. по таблице изображений и теореме запаздывания получаем, что

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте алгоритм решения дифференциального уравнения

Примеры для самостоятельного решения. Решить задачу Коши.

Ответы

Применение операционного исчисления к решению систем линейных дифференциaльных уравнений.

 

Системы линейных дифференциальных уравнений решаются аналогично тому, как решаются дифференциальные уравнения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти решение системы.

.

Пусть , а , , изображение системы имеет вид:

или

Найдём решение этой линейной системы по формулам Крамера:

, отсюда

, отсюда

Примеры для самостоятельного решения.

Операторным методом решить систему дифференциальных уравнений.

1) ; 2) ;

3)

 

4)

Ответы:

1) ; 2)

 

3) ; 4)

Таблица оригиналов и изображений.

 

N			N
	, -целое, пол.
N			N
N			N

 

Таблица сверток оригиналов.

 

 

Образец решения контрольной работы.

Задача1. По данному графику оригинала найти изображение:

 

Решение.

Запишем оригинал:

Преобразуем оригинал к виду, удобному для получения изображения:

Воспользуемся теоремами линейности и теоремой запаздывания, тогда .

Ответ.

Задача 2. Найти оригинал по заданному изображению:

Решение.

Найдем сначала оригинал для дроби .

Разложим эту дробь на простейшие и найдем коэффициенты методом неопределенных коэффициентов

При получим

При получим .

Приравниваем коэффициенты при равных степенях:

: 0=A+B+C

: 0=A+D+C

оригинал этого изображения имеет вид:

.

Так как изображение имеет вид рациональной дроби, умноженной на , применим теорему запаздывания при . Оригинал исходного изображения f(t) равен

Задача3. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решить задачу Коши.

Решение.

Пусть – изображение решения x(t) данного уравнения, тогда , .

Изображение правой части: . Составляем операторное уравнение: , отсюда .

;

;

;

;

.

Используя таблицу основных изображений, получаем, что

Задача 4. Найти решение системы ,если .

Решение.

Пусть , , , тогда

изображение системы имеет вид

или

По формулам Крамера: ,

 

Задания контрольной работы

 

Задача1. По данному графику оригинала найти изображение:

Варианты 1-10.

1.

2.

 

3.

 

 

4.

 

5.

 

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

 

10.

 

Задача 2. Найти оригинал по заданному изображению:

Варианты1-10

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задача 3. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Варианты1-10.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задача 4. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям.

Варианты1-10.

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

 

Список учебной литературы

 

 

1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: В 2т. Т.2/ Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985.

2. Бубер, В.Б. Операционное исчисление. Опорный конспект лекций по высшей математике/ В.Б. Бубер, З.Д. Ломакина. – Мурманск, 1990.

3. Конторович, М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях/ М.И. Конторович. - М.: Сов.Радио, 1975.

4. Шелковников, Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению/ Ф.А. Шелковников, К.Г. Такайшвили. – М.: Высшая школа, 1976.

5. Данко, П.Б. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч.2/ П.Б. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1999.