Начальные и центральные моменты

Пример.

Пусть известен закон распределения дискретной случайной величины X:

	0,6	0,2	0,19	0,01

.

Составим закон распределения :

	0,6	0,2	0,19	0,01

;

значительно больше , т.к. 100<10000, т.е. переход от к позволяет учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения случайной величины, которое велико и имеет малую вероятность. Аналогично для , и т.д. Поэтому целесообразно рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (и дискретного и непрерывного типа).

Моментом порядка k относительно случайной величины X называют число, обозначаемое :

,

если , момент называют начальным, если - центральным, т.е.:

- начальный момент,

- центральный момент.

Моменты вычисляются по формулам:

(3.12) (3.13)

Замечание: Моменты порядка рассматривают редко.

Мода и медиана

Модой случайной величины X дискретного типа называется такое возможное значение , для которого

, (3.14)

т.е. это то значение дискретной случайной величины, которое имеет наибольшую вероятность, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение), иметь множество значений (мультимодальное распределение).

Модой случайной величины X непрерывного типа называется действительное число , определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей .

Медианой непрерывной случайной величины X называется действительное число , удовлетворяющее условию

, (3.15)

т.е. корень уравнения . (3.16)

Так как данное уравнение может иметь множество корней, то медиана определяется, вообще говоря, неоднозначно.

 

Различные законы распределения случайной величины

Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Пусть Э проводится n раз и имеет 2 исхода: У – успех, Н – неудача, , (испытания Бернулли).

Пусть Х - случайная величина - это количество успехов в серии n испытаний и 0,1,2,... n - возможные значения этой случайной величины. Тогда вероятность того, что случайная величина примет значение, равное k, можно найти по формуле

- (4.1)

биномиальное распределение, оно задаётся вероятностью отдельного успеха р и числом испытаний n.

 

Числовые характеристики:

, (4.2)

 

Распределение Пуассона

Во многих задачах приходится иметь дело с испытаниями Бернулли, в которых n велико, а р - мало, т.е. каждый успех - это редкое событие, но среднее число успехов довольно значительно.

Перейдем в формуле (4.1) к пределу при и при условии, что сохраняет постоянное значение при повторении эксперимента:

(4.3)

Говорят, что дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если ее распределение вероятностей подчинено формуле (4.3).

Числовые характеристики:

; . (4.4)

Распределение Пуассона задается единственным неотрицательным параметром , совпадающим с и .

Замечание: при n > 100 и np < 30 от формулы Бернулли переходят к формуле Пуассона.