Функция распределения двумерной случайной величины

 

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y), называется функция F (x, y), определяющая вероятность того, что компонента X примет значение, меньшее чем x, а компонента Y – меньшее, чем y.

 

F (x, y)= P (X < x, Y < y)

 

В одномерном случае функция распределения

F (x)= P (X < x)

 

равна вероятности того, что точка, соответствующая значению случайной величины X окажется правее x. В двумерном случае функция распределения равна вероятности того, что значение величины (X, Y) попадет в бесконечный квадрант расположенный левее и ниже точки (x, y), являющейся его вершиной (рис.10).

 

 

 

 

Рис. 10. Область X < x, Y < y

 

Когда «двумерная» функция распределения строится для дискретной случайной величины, вместо отрезков с постоянным значением функции распределения (как в одномерном случае) появляются участки плоскостей, образующие “ступенчатую” поверхность (каждая плоскость параллельна плоскости X O Y)

Рассмотрим упрощенный случай, когда случайная величина распределена в соответствии с законом

 

	x 1=0	x 2=10
y 1=10	p 1	p 2

 

Легко можно проверить, что значения функции для различных областей плоскости X O Y будут такими, как показано на рис.11.

При x £0, y £10 F (x, y)= P (X < x, Y < y)=0

При x £0, y >10 F (x, y)= P (X < x, Y < y)=0

Если 0< x £10, y £10 F (x, y)= P (X < x, Y < y)=0

и при 0< x £10, y >10 F (x, y)= P (X < x, Y < y)= p ₁

Наконец, при x >10, y £10 F (x, y)= P (X < x, Y < y)=0

и при x >10, y >10 F (x, y)= P (X < x, Y < y)= p ₁+ p ₂=1

Наша двумерная случайная величина принимает всего два значения (0, 10) и (10, 10), и для тех точек плоскости X O Y, для которых квадрант с вершиной (x, y) не захватывает ни одного значения случайной величины, функция распределения равна 0. В области, где захватывается только точка (0, 10) функция распределения равна вероятности p ₁, в области, где квадрант с вершиной (x, y) захватывает обе точки – единице.

 

 

 

 

Рис. 11. Пример функции распределения для дискретной двумерной величины

 

Как и в одномерном случае, с помощью функции распределения можно задавать закон распределения непрерывной двумерной случайной величины. Для непрерывной двумерной случайной величины поверхность, отвечающая функции распределения, будет иметь более сложную форму. Рассмотрим в качестве примера функцию

0, x <0 или y <0

x×y /100, 0< x£ 10 и 0< y£ 10,

F (x, y)= y /10, 0< y£ 10 и x >10

x /10, 0< x£ 10 и y >10

1, или y >10

Области, на которых функция распределения принимает различные значения, показаны на рис.12

 

 

 

Рис.12. Области различных значений функции распределения непрерывной двумерной случайной величины.

 

Пусть необходимо найти вероятность попадания случайной величины (X, Y) в квадрант (5, 6). В соответствии с приведенным выше законом распределения

 

P (X <5, Y <6)=5×6/100=0.3

 

Вероятность попадания в квадрант (5, 11)

 

P (X <5, Y <11)=5/10=0.5