Некоторые комбинаторные формулы

Некоторые комбинаторные формулы

a) Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения P_n = n!

б) Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которыеотличаются либо составом элементов, либо их порядком A^m_n = n! / (n - m)!

в) Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом С ^m_n = n! / (m! (n - m)!)

4) Если пространство элементарных событий содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события – А, U - пространства элементарных событий. Под мерой понимается

· в одномерном пространстве - длина

· в двумерном пространстве - площадь

· в трехмерном пространстве - объем

Таким образом, геометрическая вероятность означает, что

5) Сущность аксиоматического построения научной теории состоит в том, что в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные предложения теории (теоремы, формулы, правила и приемы анализа) получаются как логические следствия аксиом. Аксиомы должны отражать реальные понятия и отношения между теоретическими построениями.

6) Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число. Условная вероятность определена только в случае, когда .

R – коэфф.корреляции

24) Коэффициент ковариации характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин Х и Y и вычисляется по формуле:

cov(X,Y)

=

n

n Σ k = 1

(xk-Mx)(yk-My)

 

25) Коэфф.корреляции и его свойства:

Коэффициент корреляции -это мера линейной зависимости двух случайных величин.

Свойства:

1)

если и независимы, то ;

2)

всегда ;

3)

тогда и только тогда, когда и линейно связаны

 

26) Центральная предельная теорема: Пусть X₁, X ₂,…, X_n, …– случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i) и дисперсиями D(X_i). Тогда для любого действительного числа х существует предел

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

 

27) Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение

28) Нера́венство Чебышёва утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему

Теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений

случайной величины и ее математическим ожиданием.

29) Различные формы Закона больших чисел:

Частный случай неравенства Чебышева (неравенство Маркова):

Для любой неотрицательной случайной величины, имеющей математическое ожидание M (Х) и e > 0, справедливо неравенство

устанавливающее верхнюю границу оценки события

 

30) Выборкой называется совокупность элементов объекта социологического исследования, подлежащая непосредственному изучению.

Выборочное распределение — это распределение значений выборочных статистик, рассчитанных для каждой возможной выборки.

Выборочные моменты — это оценка теоретических моментов распределения на основе выборки.

31) Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события :

Гистограмма используется для графического представления распределений непрерывно варьирующих признаков и состоит из примыкающих друг к другу прямоугольников

32) Сходимость эмпирической функции распределения к теоретической имеет "равномерный" характер.

Теорема Гливенко — Кантелли:

Пусть — выборка объема из неизвестного распределения с функцией распределения . Пусть — эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Тогда

33) Свойства гистограммы:

Пусть распределение абсолютно непрерывно, — его истинная плотность. Пусть, кроме того, число интервалов группировки не зависит от

Теорема:

При для любого

34) Вы́борочное сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него

Свойства:

 Пусть — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного функция является функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно .

 Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего

 Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего

 Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка

 Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

35) Выборочная дисперсия — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки

Свойства:

1) Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения

2) Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии.

3) Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия несмещённой

4) Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат

36) Параметрические семейства распределений:

Предположим, что имеется выборка объема , элементы которой , , независимы, одинаково распределены и имеют распределение , известным образом зависящее от неизвестного параметра .

Здесь — некий класс распределений, целиком определяющихся значением скалярного или векторного параметра . Параметр принимает значения из некоторого множества .

Например, для всех

• имеют распределение Пуассона , где — неизвестный параметр; здесь , , ;
• имеют распределение Бернулли , где — неизвестный параметр; здесь , , ;
• имеют равномерное распределение , где — неизвестные параметры; здесь , , ;
• имеют равномерное распределение , где — неизвестный параметр; здесь , ;
• имеют нормальное распределение , где , — неизвестные параметры; здесь , , ;
• имеют нормальное распределение , где — неизвестный параметр; здесь , , .

ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - оценка имеющая конкретное числовое значение

37) МОМЕНТОВ МЕТОД - метод определения распределения вероятностей по его моментам

Метод моментов заключается в приравнивании выборочных моментов к соответствующим моментам распределения и нахождении оценок неизвестных параметров из системы уравнений:

.

38) Состоятельность оценок метода моментов:

Теорема:

Пусть — оценка параметра , полученная по методу моментов, причем функция непрерывна. Тогда состоятельна.

39) Метод максимального правдоподобия:

За оценку параметров принимается такая оценка,которая доставляет максимум функции правдоподобия L (x, )

40) Неравенство Рао — Крамера. ( Неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра)

Для любой несмещенной оценки , дисперсия которой ограничена на любом компакте в области , справедливо неравенство

I-информация Фишера,n-объем выборки

41) О ценка, у которой дисперсия будет наименьшей относительно оцениваемого параметра, называется эффективной( дисперсия эффективной оценки совпадает с нижней гранью в неравенстве Крамера-Рао. )

42) ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ - способ получения оценки для неизвестного значения скалярного параметра с помощью интервала его допустимых значений и определения вероятности того, что в этом интервале находится истинное значение параметра.

Общий принцип построения доверительных интервалов:

1) Находим статистику , зависящую от неизвестного параметра , закон распределения которой известен

2) Находим квантили и распределения статистики , такие что .Обычно в качестве выбирают квантили распределения статистики уровней и соответственно.

3) Разрешив неравенство относительно , находим границы доверительного интервала.

Аналогично находится и асимптотический доверительный интервал, с той лишь разницей, что на первом этапе находим статистику закон распределения которой при

Некоторые комбинаторные формулы

a) Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения P_n = n!

б) Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которыеотличаются либо составом элементов, либо их порядком A^m_n = n! / (n - m)!

в) Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом С ^m_n = n! / (m! (n - m)!)

4) Если пространство элементарных событий содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события – А, U - пространства элементарных событий. Под мерой понимается

· в одномерном пространстве - длина

· в двумерном пространстве - площадь

· в трехмерном пространстве - объем

Таким образом, геометрическая вероятность означает, что

5) Сущность аксиоматического построения научной теории состоит в том, что в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные предложения теории (теоремы, формулы, правила и приемы анализа) получаются как логические следствия аксиом. Аксиомы должны отражать реальные понятия и отношения между теоретическими построениями.

6) Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число. Условная вероятность определена только в случае, когда .