Выделяют два типа средних величин: степенные и структурные.

Степенные средние. К ним относятся: средняя арифметическая величина, средняя геометрическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя кубическая и средние более высоких степеней.

Структурные средние: мода, медиана. Они называются структурными, поскольку их величина не зависит от значений признака у каждой единицы совокупности, а определяется составом (структурой) совокупности. (Подробно об этих характеристиках речь пойдет в следующей теме).

1. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

, (3)

где n – объем совокупности (число единиц); – значение признака у i-ой единицы совокупности.

Заметим, что знак суммы в статистических формулах может не сопровождаться указанием на то, что суммирование проводится с первой по n–ю единицу , поскольку суммирование, как правило, осуществляется по всем единицам совокупности, если это не так, то знак суммы сопровождается соответствующими характеристиками.

Средняя арифметическая простая, как отношение объема признака к объему совокупности, используется для расчета средних значений абсолютных показателей по не сгруппированным данным.

2. Средняя арифметическая взвешенная:

, (4)

где – вес (частота), число единиц в i-й группе; – значение признака i-й группы (если группы представлены интервалами значений, то используется величина, соответствующая середине интервала).

Средняя арифметическая взвешенная используется для расчета среднего значения абсолютных величин по сгруппированным данным, а также определения среднего значения относительных показателей при условии, что известен знаменатель исходной формулы показателя, по которому рассчитывается среднее значение. Показатель знаменателя исходной формулы используется в этом случае в качестве признака - веса.

Например, средняя заработная плата может быть рассчитана делением фонда оплаты труда на среднесписочную численность работников:

,

где, - средняя заработная плата; - фонд заработной платы; ССЧ – среднесписочная численность работников.

Если известна средняя заработная плата по отдельным подразделениям предприятия (или организациям отрасли), то среднее значение по предприятию (отрасли) в целом следует рассчитывать как среднее арифметическое взвешенное:

,

где - средняя заработная плата по организации (отрасли) в целом; - средняя заработная плата i – гоподразделения (организации); ССЧi – среднесписочная численность работников i – гоподразделения(организации). Числитель при таком расчете покажет общий объем признака, а знаменатель – общую численность работников, т.е. сохраняется смысл исходной формулы.

Свойства средней арифметической величины:

1. Произведение средней арифметической на сумму частот, равно сумме произведений индивидуальных значений признака на соответствующие частоты :

. (5)

Среднее арифметическое – это значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности при равномерном распределении общего объема признака.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней величины всегда равна нулю:

. (6)

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от средней величины всегда меньше суммы квадратов отклонений от любой другой произвольной величины:

(7)

4. Если все индивидуальные значения увеличить (уменьшить) на одну и ту же постоянную величину, то среднее значение увеличится (уменьшится) на эту же величину:

(8)

 

5. Если все частоты умножить или разделить на одно и то же число, то средняя величина признака не изменится:

(9)

 

 

3. Средняя гармоническая:

(10)

Средняя гармоническая используется для расчета среднего значения относительных показателей при условии, что известен числитель исходной формулы показателя, по которому рассчитывается среднее значение. Продолжая пример:

 

.

Только при использовании такого расчета сохраняется экономический смысл рассматриваемого показателя.

4. Средняя геометрическая:

, (11)

где k - число сомножителей в подкоренном выражении; П – знак произведения.

Средняя геометрическая используется, в частности, для расчета средних темпов роста в анализе рядов динамики, в расчете идеального индекса Фишера, о чем речь пойдет в соответствующих разделах.

5. Средняя квадратическая:

. (12)

Данная формула будет использована при расчете среднего квадратического отклонения. Средние более высоких степеней будут рассматриваться при расчете коэффициентов асимметрии и эксцесса в соответствующем разделе курса.