Лабораторная работа 3 «исследование нестационарной теплопроводности»

 

Цель работы:изучение методов исследования теплопроводности иопределение теплофизических характеристик твердых веществ.

 

Задачи работы:

 

1. Экспериментальное и численное исследование нестационарной теплопроводности простых тел.

 

2. Построение зависимостей изменения температуры от времени с использованием программы сбора данных.

3. Экспериментальное определение коэффициентов теплопровод-ности и температуропроводности материалов.

 

Основные сведения

 

Процессы теплопроводности, в которых поле температур внутри тел меняется не только в пространстве, но и по времени, называются нестационарными. Нестационарность таких процессов, прежде всего, связана с нагревом и охлаждением тел.

Любой процесс с нагрева и охлаждения можно разделить на 3 стадии. Первая охватывает начало процесса и характеризуется постепенным распространением температурных возмущений, захватывающих все новые и новые участки тела. Скорость изменения температуры в отдельных точках тела может различной и сильно зависит от начального распределения температур в теле и удаленности этих точек от источника нагрева или охлаждения. Поэтому первая стадия процесса называется неупорядочным режимом.

С течением времени влияние начальных неравномерностей сглаживается, и относительная скорость изменения температуры во всех точках тела становится постоянной. Наступает вторая стадия – режим упорядоченного процесса, который называют регулярным.

 

Затем после долгого, относительно начальной стадии, промежутка устанавливается третий режим – стационарный режим с постоянным распределением температуры в теле, не зависящим от времени.

Решения простейших задач нестационарной теплопроводности могут быть сведены к таблицам или номограммам. Однако даже в этих случаях вычисления рядов, которыми представляется точное аналитическое решение, вызывает значительные трудности, не говоря уже о телах сложной формы, изменяющихся по времени условий внешнего теплообмена и т.п. Поэтому при изучении переходных теплообменных процессов большее применение находят методы прямого численного интегрирования дифференциальных уравнений. В нашем случае речь идет о численном интегрировании дифференциального уравнения теплопроводности Фурье-Кирхгофа, имеющего вид для одномерной задачи вид

^{¶ Т} = а × ^{¶2 Т} + q_v,

¶ t ¶ х ²

 

где qv – интенсивность внутренних источников или стоков тепла,

а – коэффициент температуропроводности, который определяет скорость распространения температурных возмущений, является функцией теплоинерционных свойств веществ и зависит от их теплоемкости – Ср, плотности – r и коэффициента теплопроводности – λ.

а =	l
С р × r .	(1)

 

Рассмотрим один из методов численного интегрирования на примере прогрева металлического стержня длиной 50 мм с диаметром поперечного сечением 20 мм с граничными условиями первого рода, когда на концах пластины заданы постоянные температуры Т1 и Т2. Начальные условия задаются в виде однородного распределения

 

температур Т(х) = Т2. При этом конвективные потери тепла через боковую поверхность стержня интерпретируются как внутренние стоки тепла, так что

qv = a (Тj-Т1) ×Р/S,

где Р и S – периметр и площадь поперечного сечения пластины соответственно. Таким образом, задавая дополнительно к геометрическим, начальным и граничным условиям физические условия - плотность, теплопроводность и теплоемкость стержня, мы получаем полную математическую постановку задачи нестационарной теплопроводности при одностороннем нагреве стержня.

 

При численном интегрировании стержень условно разбивается на N отдельных ячеек, для каждой из которых составляется и многократно решается разностный аналог исходного дифференциального уравнения

D T = a ×(T j -1+ T j +1-2 T j)	D t	-	g × D t	.
D х 2
		C p × r

Метод позволяет рассчитать поля температур и тепловых потоков внутри пластины в любой момент времени, текущие значения безразмерного времени и суммарное количество тепла, передаваемого вдоль стержня теплопроводностью.

Процесс нестационарной теплопроводности демонстрируется на установке в режимах разогрева и охлаждения (выход на установившейся режим).

Для стационарного режима с распределение температуры вдоль стержня по оси Х можно описать уравнением:

 

d 2 T	=	a	×	P	(T - T	),	(2)
dx 2		l	S

где T, T0– температура стержня и окружающей среды, °С

α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·K), λ – теплопроводность материала, Вт/(м·K), P – периметр сечения стержня, м

 

S – площадь поперечного сечения, м²

 

Если в уравнении 2 сделать следующую замену

 

a ²= ^a_lS^P,

 

 

то решением уравнения 2 является:

 

T - T ₀= Ae ^ax + Be ^{- ax}.

Предположим, что при x=0 T=T1, а сам стержень бесконечно длины, то проинтегрировав решение получим

T - T =(T - T) e - ax,
откуда
			æ	- T 0	ö
a =		ln ç	T 1	÷
	x
		è T - T 0	ø

Используя соотношения из [4], тепловой поток будет равен

q = l ×(T ₁- T ₀)× a × S

 

Следовательно
				æ	- T 0		ö
	l ×(T 1- T 0	)× S ×lnç	T 1		÷
q =				è T - T 0		ø	,
		x
а, теплопроводность в свою очередь
	l =			q × x
					æ	- T 0	ö
		(T 1	- T 0	)× S ×lnç	T 1	÷
						è T - T 0	ø

где x – расстояние между термопарами, м

q – количество теплоты отдаваемое стержню от нагревателя, Вт T1 – температура нагреваемого конца, °С

 

T0 – температура окружающей среды, °С

T – температура стержня на расстоянии х, °С

 

S – площадь поперечного сечения стержня, м²

 

Таким образом, учитывая что мощность нагревателя и количество теплоты каждому стержню отдается одинаковое, то взяв за эталонный образец материал с известной теплопроводностью можно вычислить количество теплоты отдаваемое эталонному стержню, а затем определить теплопроводность неизвестных образцов.

 

Данной работе за эталонный образец принят медный образец.

 

 

Таблица 1. Характеристики медного образца марки М1
Характеристика	Значение	Примечание
Плотность, кг/м3		При 20 °С
Теплоемкость, Дж/(кг·°С)		При 20 °С
Теплопроводность,		При 20 °С
Вт/(м·°С)