Действия над векторами в координатной форме.

Даны векторы ={ a_x, a_y, a_z } и ={ b_x, b_y, b_z }.

1. ( ± )={ a_x ± b_x, a_y ± b_y, a_z ± b_z }.

2. l = { la_x, la_y, la_z }, где l – скаляр.

Скалярное произведение векторов.

Определение: Под скалярным произведением двух векторов и

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. = , - угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения:

1. × =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , где – скаляры.

6. два вектора перпендикулярны (ортогональны), если .

7. тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: , где и .

Пример: Найти скалярное произведение векторов и

Решение:

Векторное проведение векторов.

Определение: Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор, для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами и

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.

-если векторы неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.

2. Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.

4. Для любых трех векторов справедливо равенство

5. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и :

Векторное произведение в координатной форме.

Если известны координаты векторов и , то их векторное произведение находится по формуле:

.

Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле:

Пример: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Решение: .

, , тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:

,

Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов называется число, определяемое по формуле: .

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. .

2. При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. .

3. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0.

4. Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

Если известны координаты векторов , то смешанное произведение находится по формуле:

Пример: Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение:

Базис системы векторов.

Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространству R.

Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.

Пример.

Определение. Любой вектор вида = называется линейной комбинацией векторов . Числа - коэффициентами линейной комбинации.

Пример. .

Определение. Если вектор является линейной комбинацией векторов , то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .

Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.

Пример. Система векторов линейно-зависима, т. к. вектор .

Определение базиса. Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1. Базис пространства : .

2. В системе векторов базисом являются векторы: , т.к. линейно выражается через векторы .

Замечание. Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1) записать координаты векторов в матрицу,

2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3) ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4) количество векторов в базисе равно рангу матрицы.