Методические указания для расчета цепей несинусоидального тока

Несинусоидальные токи и напряжения в электрических цепях возникают вследствие наличия различных нелинейных элементов, в том числе полупроводниковых и ферромагнитных.

Несинусоидальная функция, удовлетворяющая условию Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье, который можно записать, например, в виде:

,

где - постоянная составляющая, которая характеризуется нулевой частотой ;

- первая (основная) гармоника, период которой совпадает с периодом несинусоидальной функции. Частота первой гармоники в энергосистеме f⁽¹⁾ = 50. Гц;

- высшие гармоники (вторая, третья и т.д.). Частота k -ой гармоники в k раз выше частоты 1^ой гармоники f⁽¹⁾.

Линейные электрические цепи при воздействии несинусоидального напряжения (тока) рассчитываются методом наложения.

Таким образом, расчет заданной цепи надо вести для каждой гармоники и постоянной составляющей отдельно.

Расчет по постоянной (нулевой)составляющей.

Ее частота , следовательно , тогда реактивные сопротивления , а .

Таким образом, по постоянной составляющей индуктивность представляет собой закороченный участок, а емкость – обрыв данной ветви. В итоге получаем резистивную схему замещения цепи.

Величины токов в ветвях определяются только сопротивлениями резистивных элементов R. Напряжения на конденсаторе определяются его схемой включения и рассчитывается из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа.

Расчет по первой (основной) гармонике ведется символическим методом. Сопротивление реактивных элементов в задаче обычно задаются по первой гармонике. Исходя из этого, записываем комплексы сопротивлений всех ветвей

Дальнейший алгоритм расчета зависит от поставленной задачи и подробно рассматривается далее.

Расчет по высшим гармоникам ведется, так же символическим методом, как и по первой, но только необходимо помнить, что реактивные сопротивления и зависят от частоты,

и

т.е. сопротивление индуктивности растет пропорционально номеру гармоники – k, а сопротивление емкости падает обратно пропорционально номеру гармоники.

Закон Ома для участка цепи для k -ой гармоники имеет вид:

Следует помнить, что токи и напряжения различных гармоник имеют разные частоты, поэтому нельзя складывать их комплексы, а также строить векторные диаграммы разных гармоник в одной плоскости.

Пример 1.

В электрической цепи (рис. 1.2) R ₁ = 6 Ом; R ₂ = 5 Ом; R ₃ = =20 Ом;

Определить действующее и мгновенное значение тока в неразветвленной части. Вычислить мощность, расходуемую в цепи.

 

 

Рис. 1.2

Решение

Расчет тока постоянной составляющей (нулевой гармоники):

Расчет тока первой гармоники:

,

А,

А.

Расчет тока третьей гармоники:

Мгновенное значение тока в неразветвленной части цепи

Действующее значение тока

Мощность, расходуемая в цепи

,

Строим графики напряжения и тока. Можно построить

в MathCAD (рис.1.3).

Рис. 1.3