Тема 5. Интегральное исчисление функции одной переменной

Краткие теоретические сведения

Функция F (x) называется первообразной функцией функции f (x) на промежутке X, если для любого x из данного промежутка X верно равенство: F ¢(x) = f (x).

Неопределенным интегралом отфункции f(x) называется множество всех первообразных функций F (x) + C для функции f(x).

Записывают: .

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4. ;

5. , где k R, k 0.

 

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной): .

Метод интегрирования по частям: ;

Если существует конечный предел суммы при , не зависящей ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f (x) на отрезке [ a, b ].

Обозначается: = , а – нижний предел, b – верхний предел интегрирования, х – переменная интегрирования, [ a, b ] – отрезок интегрирования.

Основные свойства определенного интеграла:

1) Для любых a, b, c верно ;

2)

3)

4) Если f (x) £ j (x) на отрезке [ a, b ] то

5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [ a, b ], то: ;

6) Теорема о среднем. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то на

этом отрезке существует точка c такая, что .

Формула Ньютона – Лейбница: Если функция F (x) – какая - либо перво-образная от непрерывной функции f (x), то .

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной):

, здесь j (a) = а, j (b) = b.

Метод интегрирования по частям:

Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

 

Задания к расчетно-графической работе

 

Задание 5.1. Найдите неопределенные интегралы.

 

Вариант		Вариант
	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .		а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .		а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .		а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .		а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .		а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

 

Задание 5.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

 

Вариант	Задание	Вариант	Задание

 

Пример выполнения заданий по теме 5

Задание 5.1. Найдите неопределенные интегралы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

ж) ;

Решение.

а) Сделаем замену t = sinx. Тогда dt = cosxdt и:

=

б) Выполним замену: Получаем:

в) Воспользуемся методом интегрирования по частям:

г) Применим метод интегрирования по частям дважды:

д) Представим дробь в виде суммы простейших дробей.

Так как то = .

Тогда = . Откуда следует, что 2 x + 5 = A (x – 1) + + B (x + 3). Положим x = -3, тогда -1 = -4 A, то есть A = ; Положим x = 1, тогда 7 = 4 B, то есть B = . Следовательно, = . Тогда =

=

е) Для нахождения данного интеграла воспользуемся подстановкой t = . Тогда , откуда и . Таким образом, .

Так как под знаком интеграла получилась неправильная дробь , то разложим неправильную дробь на сумму правильной дроби и многочлена. Выполнив деление числителя на знаменатель, получим: = 2 - . Тогда . Сделав обратную замену t = , получим, что = .

ж) Для нахождения данного интеграла воспользуемся формулой:

sin sin = .

Тогда:

= = = = =

Задание 5.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2.

Решение.

График функции y = x – прямая, являющаяся осью симметрии первого и третьего координатных углов; график функции y = x² - парабола с вершиной в точке (0;0), а графиком линии x = 2 является прямая, перпендикулярная оси абсцисс и проходящая через точку (2; 0).

Построим графики функций: y = x, y = x², x = 2.

Искомая фигура заштрихована на рисунке:

Тогда

S = (ед²)