Элементы аналитической геометрии.

Пример. Даны вершины треугольника ABC: A (-4;2), B (8;-6), C (2;6).

Найти: а) уравнение стороны AB;

б) уравнение высоты CH;

в) уравнение медианы AM;

г) уравнение прямой, проходящей через вершину C

параллельно стороне AB;

 

Решение: а) Используем уравнение прямой, проходящей через две точки A и B. Получим уравнение стороны AB: , откуда или .

б) Высота опускается из точки C на сторону AB, угловой коэффициент которой . Если обозначим угловой коэффициент стороны CH через , то согласно условию перпендикулярности . Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку C: . Из этого пучка выберем прямую, перпендикулярную AB, придав значение . Получим или .

в) Предварительно найдем координаты середины М отрезка ВС: , . По известным двум точкам составляем уравнение прямой АМ:

или .

г) Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку С: . Выберем из него прямую, параллельную прямой AB, придав значение . Получим уравнение искомой прямой в виде

или .

 

 

Предел и производная функции одной переменной.

Исследование функции одной переменной с помощью производной.

2.1 Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

 

а) ,

Решение:

,

б) .

Решение: Устраняем неопределённость вида преобразованием:

.

 

 

Производная функции

Производная функция от функции в данной точке определяется равенством

.

Таблица производных выглядит следующим образом:

1. . 2. .

3. , в частности .

4. , в частности .

5. . 9. .

6. . 10. .

7. . 11. .

8. . 12. .

Основные правила дифференцирования

1. 2. , в частности, 3. , где

Задача. Найти производные следующих функций:

а) ; б) .

Решение. а) Преобразуем выражение в скобках, переходя к дробным и отрицательным показателям. Получим

.

Используя правило дифференцирования произведения и суммы находим =

= .

б) Проведем предварительное преобразование функции:

= .

Используя правила дифференцирования произведения, суммы и частного, получим

=

= .

 

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Неопределенным интегралом называется выражение , где , а - произвольная константа, т.е.

= .

Замена переменных в неопределенном интеграле

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменных. Пусть требуется найти интеграл с непрерывной подынтегральной функцией

. (1)

Сделаем замену переменных, положив

(2)

где функция удовлетворяет следующим двум условиям:

1) - непрерывная функция;

2) - непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию, тогда .

Задача 1. Найти неопределенный интеграл .

Решение: Положим, Дифференцируя это равенство, получим:

Но тогда .

Задача 2. Найти неопределенный интеграл

РHHешение: оложим Такая замена очень естественна, так как, учитывая, что , наш интеграл можно записать в следующем порядке:

Итак,

Тогда