Определение гиперболических синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Определение гиперболических синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Графики гиперболических функций

Свойства

3.1. Связь (сумма)

Чётность

Разность квадратов

Формулы суммы и разности аргументов

Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса

Формулы суммы и разности гиперболических функций

Формулы производных

Формулы интегралов

Формулы неравенства

Формулы разложения в степенные ряды

Появление названия «гиперболическая функция»

Применение гиперболических функций.

 

 

Введение

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы. Винсент Риккати (итал. Vincenzo de Riccati; 11 января 1707, Кастель-Франко — 17 января 1775, Тревизо) — итальянский математик, иностранный почётный член Петербургской Академии Наук с 17 января 1760 года. Известен как создатель гиперболических функций. Отец Винсента Якопо Франческо Риккати (в честь которого названо уравнение Риккати) был одним из крупных итальянских математиков того времени. Винсент Риккати унаследовал интересы отца в области дифференциальных уравнений, которые естественно возникали при решении геометрических задач. Это привело его к изучению конических сечений в декартовых координатах и к заинтересованности в изучении гиперболы¹.
Современная математика рассматривает гиперболические функции, как пары экспоненциальной функции, но Риккати исследовал их свойства, используя только геометрические свойства гиперболы х² — y² = 1 или 2xy = 1. Он использовал геометрические методы, хотя он был знаком с работами Эйлера, предшествовавших выходу книги Риккати.
Над гиперболическими функциями Риккати работал вместе с Джироламо Саладини. Риккати не только рассмотрел эти новые функции, но и на основе связанных с ними интегральных формул и с помощью геометрических методов получил интегральную формулу для тригонометрических функций. Его книга «Institutiones» признана как первый обширный трактат по интегральному исчислению. Работы Эйлера и Ламберта изданы позже. Саладини и Риккати также рассматривали другие геометрические проблемы, в том числе трактрису, строфоиду. Риккати применял для гиперболических функций обозначения и в дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой.

Цель данной работы – изучить гиперболические функции и их применение.

 

Определения гиперболических синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Гиперболическим синусом называется функция:

Гиперболическим косинусом называется функция:

Гиперболическим тангенсом называется функция:

Гиперболическим котангенсом называется функция:

Гиперболическим секансом и косекансом называется функции:

,

.

 

 

Свойства

3.1) Связь (сумма)

sin iz = i sh z; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i th z; ctg iz = – i cth z
th iz = i tg z; cth iz = – i ctg z
Здесь i – мнимая единица, i² = – 1.

Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.

Чётность

sh(–x) = – sh x; ch(–x) = ch x.
th(–x) = – th x; cth(–x) = – cth x.

Функция ch(x) – четная. Функции sh(x), th(x), cth(x) – нечетные.

Разность квадратов

ch² x – sh² x = 1.

Формулы производных

 

 

Формулы интегралов

Формулы неравенства

Для всех выполняется:

Определение гиперболических синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов