Тригонометрическая форма комплексного числа

С любой точкой А плоскости XOY мы можем связать радиус-вектор и установить взаимно однозначное соответствие множества комплексных чисел z = a + b с множеством радиус-векторов с координатами (a, b) (рисунок 3).

 

y

b A(a,b)

r

O a x

Рисунок 3 – Связь прямоугольной и полярной систем координат

 

Тогда

a = r cos , b = r sin ,

z = a + bi = r (cos + i sin ),

есть так называемая тригонометрическая форма комплексного числа.

Определение. = r расстояние от О до А называется модулем комплексного числа.

Определение. Аргументом arg z комплексного числа z называется угол между положительным направлением оси ОХ и радиусом-вектором ОА.

.

Чтобы определить однозначно, нужно знать положение точки A на плоскости.

Если точка A находится в 1 или 4 четверти, то .

Если точка A находится во 2 или 3 четверти, то .

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

Умножение и деление комплексных чисел удобнее выполнить, если эти числа записаны в тригонометрической форме.

Пусть

,

тогда

,

а

.

 

Формула Муавра

 

При любом натуральном n

= = ,

или

=

– это так называемая формула Муавра позволяющая находить целую степень комплексного числа.

 

Извлечение корней n-ой степени из комплексного числа

Пусть комплексное число z задано в тригонометрической форме

z = r (cos + i sin ) 0 + 0 i.

Тогда

.

k = .

Пример 1 Записать в тригонометрической форме комплексные числа:

.

Модуль этого комплексного числа числу z соответствует точка (1;1) I четверти (рисунок 4). Поэтому

.

Запишем

y

1 (1+i)

0 1 x

Рисунок 4 – Число 1+i в комплексной плоскости

 

Окончательно запишем

Пример 2 Найти произведение и частное комплексных чисел z ₁ и z ₂

.

Решение:

,

.

Пример 3 Вычислить .

Решение:

Пример 4 Найти все значения корня 4-й степени из z =

Здесь r = 1, Тогда .

Тогда при k = 0,

k = 1,

k = 2,

k = 3,

Задачи для решения

1 Записать данные комплексные числа в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:

a) z = 2 + 2 i, б) z = + i,

в) z =1- i, г) z = -4,

д) z = 3 i, е) z = -2 i.

ж) z = -10; з) z = 6-6i;

и) z = -1 i; к) z =1 i.

2 Найти произведение и частное комплексных чисел и в тригонометрической форме:

а)

б)

3 Вычислить:

а) + б) ;

в) г)

д) ж) ;

з) и)

к) ; л) ;

м) н)

о)

4 Найти значения при n = 2, 3, 4, 6.

 

Двучленные уравнения

Определение. Уравнения вида называются двучленными, где

Решение этого уравнения находится в виде:

.

Решение двучленных уравнений сводится к извлечению корней n-ой степени из комплексных чисел.

Пример Решить уравнение = 0.

Решение

Перепишем уравнение в виде будем рассматривать 32 как комплексное число и представим его в тригонометрической форме:

.

Теперь по правилу извлечения корня из комплексного числа найдем

где k следует придать значения 0, 1, 2, 3, 4. Получим пять корней нашего уравнения:

Уравнение имеет один действительный корень и четыре комплексных.

Задачи для решения

1 Решить уравнения:

а) б)

в) г)

д) е) 8

ж) 16 з)

и) - ; к) 3