Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые

Замечание: функции при бесконечно малые величины, но к нулю они стремятся по-разному.

Чтобы сравнить бесконечно малые функции рассматривают предел их отношения. Пусть функции и являются бесконечно малыми при . Рассмотрим предел отношения этих функций при и введем следующие определения.

Функции и называются бесконечно малыми одного и того же порядка малости при ; если есть конечное число, отличное от нуля.

Функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем функция при , если .

Функция называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем функция при , если .

Функции и называются несравнимыми бесконечно малыми при , если не существует.

Пример 13.

Функция является бесконечно малой при более высокого порядка малости, чем функция , так как .

При приближении к нулю функция стремится к нулю быстрее, чем функция .

Пример 14.

Функция и являются бесконечно малыми одного порядка малости при , так как .

Введем теперь понятие эквивалентных бесконечно малых функций.

Две функции и бесконечно малые при () называются эквивалентными (или равносильными), если предел их отношения при () равен единице.

Например, функции являются эквивалентными бесконечно малыми функциями при , так как , .

Если и – эквивалентные бесконечно малые функции, то это записывают так: ~ или ~ .

Таблица эквивалентных бесконечно малых

 

Таблица 3

при	при
при	при
при	при
при	при   при
при
при

 

Пример 15. Найти .

Решение. Так как при ~ , ~ то .

Пример 16. Найти .

Решение.

Пример 17. Найти .

Решение.

.

 

Пример 18. Найти .

Решение. Так как , а , то

.

Пример 19. Найти .

Решение. Так как , то

.

Непрерывность функции в точке

 

Функция , определенная в окрестности некоторой точки х ₀, называется непрерывной в точкех ₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е. .

Равенство означает выполнение трех условий:

1. функция определена в точке х ₀ и в ее окрестности;

2. функция имеем предел при ;

3. предел функции в точке х ₀ равен значению функции в этой точке.

Если функция определена в некоторой окрестности точки х ₀, но не является непрерывной в самой точке х ₀, то она называется разрывной функцией, а точка х ₀ – точкой разрыва.

Функция называется непрерывной в точке х ₀, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию верно неравенство .

Функция называется непрерывной в точке х = х ₀, если приращение функции в точке х ₀ является бесконечно малой величиной.

= + , где – бесконечно малая при .

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х ₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х ₀.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х ₀.

3) Если u = f (x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х ₀, то функция v = g (f (x)) – тоже непрерывная функция в этой точке.