История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
 2018-01-07 |
 533 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Уравнение вида 
, где p, q – заданные числа называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное ДУ второго порядка без правой части 
, соответствующее ЛНДУ, называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ).
Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ). Общим решением ЛНДУ является сумма его общего решения уоо соответствующего ЛОДУ и произвольного частного решения учн, то есть у = учн + уоо.
Рассмотрим нахождение общего решения уоо и частного решения учн.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка . Если 
и 
– корни характеристического уравнения 
(для этого необходимо 
заменить на 
, 
– на 
, 
– на1), то общее решение записывается в одном из следующих трех видов (табл. 1):
Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка
Таблица 1.
| Корни и 
| Общее решение ЛОДУ |
1) 
| действительные и различные ( )
| 
|
2) 
| действительные и равные ( )
| 
|
3) 
| комплексные 
(а и b – действительные числа)
| 
|
Пример 14. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Составим характеристическое уравнение 
и найдем его корни: 
; 
; 
. Т.к. и – действительные и различные числа, то общее решение записывается в виде: 
.
Пример 15. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: 
, 
, 
– комплексно-сопряженные корни, 
, 
. Общее решение имеет вид 
, отсюда 
.
Пример 16. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: 
. Найдем его корни: 
. Тогда 
.
Найдём теперь частное решение неоднородного уравнения
Рассмотрим следующие случаи:
1) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид 
, где P (x)-многочлен.
Тогда неоднородное уравнение имеет частное решение вида 
, где Q (x)-многочлен той же степени, что и P (x), k-кратность корня характеристического уравнения, равного m (то есть сколько корней характеристического уравнения равно m).
Неизвестные коэффициенты многочлена Q (x) находим с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Это правило верно и при m =0, когда правая часть есть многочлен. В частных случаях P (x) может быть и постоянной величиной (числом).
2) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид 
.
Если числа 
являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида 
.
Если числа не являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида 
.
Если a =0 или b =0, решение всё равно следует искать в общем виде.
3) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид 
, где P1 (x) и P2 (x) –многочлены.
Если числа m являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида 
.
Если числа 
не являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида 
.
Q 1(x) и Q 2(x)-многочлены степени, равной высшей из степеней многочленов P 1(x) и P 2(x)
Замечание. Частное решение ЛНДУ имеет тот же вид, что и специальная правая часть, но если число 
является корнем характеристического уравнения кратности r, то в частном решении присутствует множитель 
.
Немногим более сложные виды специальной правой части рекомендуем разобрать самостоятельно.
Пример 17. Решить уравнение 
, 
, 
Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка со специальной правой частью 
(
) Соответствующее однородное уравнение имеет вид 
.
Составим характеристическое уравнение 
и найдем его корни: 
, 
.
Тогда общее решение ЛОДУ имеет вид 
.
Найдем частное решение ЛНДУ. Т.к. 
, 
, и число является простым (однократным) корнем характеристического уравнения (совпадает с ), то частное решение будем искать в виде 
. Для отыскания неопределенного коэффициента А подставим 
в данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, предварительно вычислив 
, 
. Получаем равенство
, откуда находим 
. Таким образом 
.
Так как. общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения находится в виде 
, то окончательно получаем 
.
Теперь подставим начальные условия в полученное решение, получим
, 
,
,
, 
.
Решив систему, получаем 
, 
.
Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,
.
|
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpediasu.com 2017-2026 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!