Геометрические свойства векторного произведения

· Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

· Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу вектора и

· Если — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка , , — правая, а S— площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

· Если — какой-нибудь вектор, π — любая плоскость, содержащая этот вектор, — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к — единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора справедлива формула

· При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c. Такое произведение трех векторов называется смешанным.

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Алгебраические свойства векторного произведения

Далее и обозначают соответственно векторное и скалярное произведение векторов и .

	Антикоммутативность.
	Ассоциативность умножения на скаляр.
	Дистрибутивность по сложению.
	Тождество Якоби.
	Формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа.
	Частный случай мультипликативности нормы кватернионов.
	Значение этого выражения называют смешанным произведением векторов a, b, c.

Выражение в координатах

В правом ортонормированном базисе

Если два вектора и представлены в правом ортонормированном базисе координатами

то их векторное произведение имеет координаты

Для запоминания этой формулы удобно использовать мнемонический определитель:

Где i=(1, 0, 0), j=(0, 1,0), k=(0, 0, 1), или

где ε_ijk— символ Леви-Чивиты.

В левом ортонормированном базисе

Если базис левый ортонормированный, то векторное произведение в координатах имеет вид

Длязапоминания, аналогично:

Или

Формулы для левой системы координат можно получить из формул правой системы координат, записав те же векторы и во вспомогательной правой системе координат (i′= i, j′= j, k′= −k):

В произвольной аффинной системе координат

Векторное произведение в произвольной аффинной системе координат имеет координаты