Волновая функция. Уравнение Шредингера

Де Бройль связал со свободно движущейся микрочастицей плоскую волну с

циклической частотой w и длиной волны l. Волна, движущаяся в положительном

направлении оси x, описывается функцией

,

где w и l выражены через энергию и импульс микрочастицы , - мнимая единица.

Комплексную функцию называют волновой функцией или пси–функцией .

В квантовой механике невозможно точно определить положение микрочастицы в пространстве. Возможно лишь определение вероятности нахождения микрочастицы в некоторой области пространства. Другого способа описания движения объектов в микромире не существует. Поэтому для описания состояния частицы при таком вероятностном подходе используют не уравнение движения , а

комплексную волновую функцию .

Пси–функцию локализованного состояния выбирают так, чтобы она удовлетворяла условию нормировки , где интеграл берется по всему пространству, где находится частица или по той области, в которой отлична от нуля. Условие нормировки означает, что во всей области, где , частица находится с вероятностью равной 1. Пси–функцию, удовлетворяющую условию нормировки, называют нормированной.

Если известна волновая функция , то с ее помощью можно вычислить средние значения физических величин, характеризующих микрочастицу. Среднее значение координаты частицы ,

а среднее значение любой функции координат

,

где интегрирование ведется по всему пространству или интересующей нас области.

Уравнение Шредингера.

Это основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, играющее та-

кую же роль, как второй закон Ньютона в нерелятивистской механике. Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

,

где - масса частицы, - оператор Лапласа ; - посто-

янная Планка; – потенциальная энергия силового поля, в котором дви-

жется частица, которой соответствует потенциальная энергии сидового поля.

Если силовое поле стационарно, то функция U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения Шредингера представляет собой произведение двух сомножителей, один из которых зависит только от координат, а второй от времени.

,

где E – энергия микрочастицы. Подставляя эту функцию в уравнение Шредингера, получим:

,

Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний.

Пси-функция должна удовлетворять стандартным условиям: быть конечной, однозначной и непрерывной (за исключением, быть может, особых точек) и иметь непрерывную и конечную производную. Решения уравнения Шредингера, удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии . Их называют собственными значениями, а решениями уравнения Шредингера , при этих значениях энергии, - собственными функциями.